Дифракционная оптика

Физическая природа дифракции

Дифракция — это отклонение света от прямолинейного распространения при прохождении через малые отверстия, щели или при взаимодействии с препятствиями, сравнимыми по размеру с длиной волны. В волновом подходе дифракция объясняется интерференцией вторичных волн, возникающих на границах непрозрачных объектов. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждая точка волнового фронта является источником сферических вторичных волн, и результирующее поле в любой точке пространства определяется суперпозицией этих волн.

В отличие от геометрической оптики, где свет трактуется как лучи, дифракционная оптика учитывает волновую природу света, описываемую уравнением Гельмгольца:

∇²U + k²U = 0,

где U — комплексная амплитуда светового поля, $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число.

Типы дифракции

Дифракция делится на два основных типа:

Дифракция Френеля — наблюдается, когда источник и экран находятся на конечном расстоянии от дифрагирующего объекта. Волновой фронт искривлён, расчёты требуют использования зон Френеля.
Дифракция Фраунгофера — возникает в параллельных (плоских) пучках света, либо при использовании линз. Условия существенно упрощаются, позволяя использовать преобразование Фурье для описания картины.

Математическое описание дифракции Фраунгофера

Пусть на дифракционную решётку падает монохроматический плоский волновой фронт. Амплитуда дифрагированного поля в удалённой точке определяется интегралом Фурье от распределения амплитуды на апертуре:

U(x, y) = ∬_−∞^∞A(ξ, η)e^{−ik(xξ + yη)/z}dξdη,

где A(ξ, η) — функция апертуры, (x, y) — координаты наблюдения, z — расстояние до экрана.

В случае периодической структуры (например, дифракционной решётки), происходит дискретизация частотного спектра, и дифракционные максимумы наблюдаются в направлениях, удовлетворяющих условию:

dsin θ_m = mλ,

где d — период решётки, θ_m — угол дифракционного максимума порядка m, λ — длина волны.

Дифракционные решётки

Дифракционная решётка представляет собой оптический элемент с периодически чередующимися прозрачными и непрозрачными участками. В зависимости от способа реализации различают:

Трансмиссионные решётки — пропускают свет через прозрачные щели.
Рефлекционные решётки — наносятся на зеркальные поверхности и работают в отражённом свете.

Ключевые параметры решётки:

Период решётки d
Число штрихов на миллиметр
Общий размер апертуры
Эффективность дифракции — доля энергии, дифрагированной в определённый порядок

Спектральное разрешение дифракционной решётки определяется выражением:

$$ R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = mN, $$

где m — порядок дифракции, N — число периодов (штрихов), участвующих в формировании дифракционной картины.

Фурье-оптика и пространственные спектры

Фурье-оптика — современный раздел дифракционной оптики, основанный на идее, что линза производит преобразование Фурье от амплитудного распределения во входной плоскости. Это позволяет трактовать оптическую систему как аналог фильтра пространственных частот.

Входное изображение f(x, y), проходя через линзу, формирует в фокальной плоскости амплитуду F(u, v), соответствующую двумерному преобразованию Фурье:

F(u, v) = ∬f(x, y)e^{−i2π(ux + vy)}dxdy,

где u, v — пространственные частоты. Это представление позволяет анализировать и синтезировать дифракционные структуры по заданному спектру.

Дифракционные линзы и зонные пластины

Особый класс дифракционных элементов — зонные пластины, представляющие собой кольцевые структуры с попеременно прозрачными и непрозрачными зонами. Радиусы зон определяются условием, что разность оптических путей от соседних зон к фокальной точке равна половине длины волны:

$$ r_n = \sqrt{n \lambda f + \left( \frac{n\lambda}{2} \right)^2} \approx \sqrt{n \lambda f}, $$

где f — фокусное расстояние, n — номер зоны.

Зонные пластины обладают фокусирующими свойствами, аналогичными линзам, но в отличие от последних, формируют несколько фокусов — дифракционные порядки.

Дифракционно-оптические элементы (ДОЭ)

Современная технология микролитографии позволяет изготавливать дифракционно-оптические элементы, имеющие произвольный профиль поверхности, обеспечивающий заданное фазовое преобразование. Такие элементы могут выполнять фокусировку, разделение, гомогенизацию, формирование изображений и другие задачи.

Ключевые типы ДОЭ:

Фокусирующие элементы (френелевские линзы, фазовые зонные пластины)
Элементы формирования луча (дифракционные генераторы пучков, диффузоры)
Мультифокальные и мультиспектральные структуры
Оптические вычислители (матричные умножения, корреляторы)

Фазовые ДОЭ имеют высокую эффективность (до 95%) и формируют заданное распределение в дальней зоне или в фокальной плоскости объектива.

Дифракция в интегральной и нанофотонике

В системах интегральной оптики, где размеры волноводов соизмеримы с длиной волны, дифракционные эффекты становятся определяющими для проектирования оптических элементов. Распространение света описывается в терминах мод, каждая из которых претерпевает дифракционные и интерференционные преобразования при передаче через границы, разветвления и периодические структуры.

В нанофотонике дифракционные явления реализуются на искусственных метаповерхностях, где наноразмерные элементы обеспечивают пространственно-зависимую фазовую модуляцию. Это позволяет создавать метаповерхностные линзы, голограммы, элементы управления поляризацией и фазой света с субволновым разрешением.

Обратная дифракция и голография

Обратная задача дифракции — восстановление объекта по дифракционному изображению. Это лежит в основе голографии, где записывается интерференционная картина между опорным и объектным пучками. При освещении голограммы тем же опорным пучком восстанавливается волновой фронт, тождественный исходному.

Голография, таким образом, является примером волнового хранения информации, основанного на дифракции и интерференции. Современные голографические носители используют объемные и многослойные структуры, в которых дифракция играет ключевую роль в селективном восстановлении информации.

Законы масштабирования и ограничение разрешения

Дифракционная природа света приводит к фундаментальному ограничению разрешающей способности оптических систем. Предельное разрешение определяется критерием Рэлея:

$$ \delta = 1.22 \frac{\lambda}{D}, $$

где D — диаметр апертуры. Для преодоления дифракционного предела применяются методы сверхразрешения: использование коротковолнового излучения, флуоресцентные метки (в биофотонике), фазовые и амплитудные манипуляции волновыми фронтами, а также численные методы восстановления.

Заключительное замечание (не оформлять как раздел)

Дифракционная оптика представляет собой область, где волновая природа света проявляется наиболее полно. От простейших явлений, как картина от одной щели, до сложнейших структур метаповерхностей и ДОЭ, дифракция даёт мощный инструментарий для управления светом на микро- и наномасштабах.