Условия наблюдения дифракции Фраунгофера
Дифракция Фраунгофера представляет собой частный случай дифракции, наблюдаемый при выполнении двух ключевых условий: плоские волны падают на дифрагирующий объект (например, щель, отверстие, решётку), и наблюдение происходит в бесконечно удалённой области или, эквивалентно, в фокальной плоскости собирающей линзы. Эти условия обеспечивают параллельность как падающих, так и дифрагированных лучей, позволяя трактовать наблюдаемое распределение интенсивности как результат интерференции плоских волн, распространяющихся под разными углами.
В реальных установках плоские волны получают, располагая источник в фокусе коллиматора, а наблюдение производят в фокальной плоскости собирающей линзы, за дифрагирующим объектом. Таким образом, геометрия эксперимента сводится к простой схеме, позволяющей точно рассчитать угловое распределение дифракционной картины.
Дифракция Фраунгофера на одной щели
Рассмотрим узкую прямоугольную щель шириной b, освещённую монохроматическим пучком плоских волн с длиной волны λ, распространяющихся перпендикулярно плоскости щели. В фокальной плоскости линзы, расположенной за щелью, формируется дифракционная картина, структура которой определяется угловым распределением интенсивности.
Пусть наблюдение ведётся под углом θ к оси щели. Тогда разность хода между волнами, исходящими из краёв щели, равна Δ = bsin θ. С учётом непрерывного распределения источников в пределах щели, амплитуду результирующей волны можно получить интегрированием по ширине щели. Интенсивность имеет вид:
$$ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2, \quad \text{где} \quad \beta = \frac{\pi b \sin \theta}{\lambda}. $$
Максимум наблюдается при θ = 0, где β = 0. Минимумы наступают при β = ±nπ, т.е. при:
$$ \sin \theta_n = \frac{n \lambda}{b}, \quad n = \pm1, \pm2, \ldots $$
Таким образом, дифракционная картина состоит из центрального максимума и симметричных боковых максимумов, разделённых минимумами. Центральный максимум — самый яркий и широкий.
Дифракция Фраунгофера на двух щелях
При наличии двух одинаковых узких щелей, расположенных на расстоянии d друг от друга, результирующая картина является наложением дифракции от одной щели и интерференции от двух щелей. Угловое распределение интенсивности описывается выражением:
$$ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 \cos^2 \delta, \quad \text{где} \quad \delta = \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}. $$
Фактор $\left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2$ определяет дифракционную огибающую, тогда как cos2δ — интерференционную структуру с множеством узких максимумов. Основные максимумы интерференции появляются при:
$$ \sin \theta_m = \frac{m \lambda}{d}, \quad m = 0, \pm1, \pm2, \ldots $$
Некоторые из этих максимумов могут отсутствовать, если они попадают в положение минимумов дифракционной огибающей. Это приводит к чередованию видимых и подавленных интерференционных максимумов.
Дифракция Фраунгофера на N-щелевой решётке
Если щелей N, и они равноудалены на расстоянии d, то интерференционная составляющая становится всё более выраженной. Интенсивность определяется выражением:
$$ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2 \left( \frac{\sin N\delta}{\sin \delta} \right)^2, $$
где значения β и δ сохраняют ту же физическую интерпретацию. Картина характеризуется узкими и резко выраженными максимумами при:
$$ \sin \theta_m = \frac{m \lambda}{d}, \quad m = 0, \pm1, \pm2, \ldots $$
Ширина главных максимумов обратно пропорциональна числу щелей N, что делает решётки особенно удобными для спектрального анализа. Между главными максимумами возникают дополнительные, менее яркие боковые пики (при N ≥ 3).
Дифракция Фраунгофера на круглых отверстиях
Круглая апертура вызывает симметричную дифракционную картину в виде светлых и тёмных колец, называемую дифракцией Эйри. Центральный максимум имеет форму яркого круга, окружённого чередующимися тёмными и светлыми кольцами. Угловое положение минимумов определяется нулями функции Бесселя первого рода первого порядка:
$$ J_1\left( \frac{\pi D \sin \theta}{\lambda} \right) = 0, $$
где D — диаметр отверстия. Первый минимум наблюдается при:
$$ \sin \theta_1 \approx 1.22 \frac{\lambda}{D}. $$
Этот результат лежит в основе критерия Релея, определяющего предел разрешения оптических систем.
Решётка как спектральный прибор
Дифракционная решётка широко используется для дисперсии света. Разрешающая способность решётки определяется выражением:
$$ R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = mN, $$
где m — порядок спектра, N — число щелей, участвующих в интерференции. Чем больше N, тем выше разрешающая способность. При этом угловое положение спектральных линий определяется уравнением решётки:
dsin θ = mλ.
Такой подход позволяет разделять близкие по длине волны линии и применять дифракционные решётки в спектрометрах.
Зависимость картины от длины волны
Поскольку положение максимумов пропорционально длине волны, наблюдаемая дифракционная картина зависит от спектрального состава света. При использовании белого света центральный максимум остаётся белым, а боковые расщепляются в спектр — фиолетовый ближе к центру, красный дальше. Это свойство используется в устройствах дисперсии, таких как спектроскопы и монохроматоры.
Практическое применение
Явление дифракции Фраунгофера лежит в основе принципа работы оптических приборов: дифракционных спектрометров, телескопов, микроскопов и фотолитографических систем. Оно также учитывается при расчётах ограничений разрешающей способности, проектировании зондирующих систем и при анализе структуры вещества через методы дифракции рентгеновских и нейтронных волн.
Являясь результатом интерференции когерентных волн с разной фазой, дифракция Фраунгофера подчёркивает фундаментальную роль волновой природы света в формировании пространственного распределения энергии, определяя границы возможностей современной оптики.