Условия возникновения дифракции Френеля
Дифракция света представляет собой отклонение от законов геометрической оптики при распространении света вблизи препятствий или через отверстия, сравнимые по размерам с длиной волны. В случае дифракции Френеля речь идёт о дифракции, возникающей в условиях, когда расстояние от источника света до препятствия и от препятствия до наблюдательной плоскости конечно и сравнимо с размерами самой системы.
В отличие от дифракции Фраунгофера, для которой требуется параллельный пучок и условие “бесконечности” (или коллимации с помощью линз), дифракция Френеля не требует подобных условий. Это делает её особенно важной для анализа дифракционных явлений в реальных, ближних зонах.
Зоны Френеля
Основной теоретический инструмент для анализа дифракции Френеля — зонная теория Френеля. Представим, что волна от точечного источника достигает точки наблюдения через некоторую поверхность. Эта поверхность разбивается на концентрические участки — зоны Френеля, каждая из которых соответствует участку, для которого разность хода с соседней зоной равна λ/2. То есть волны из соседних зон приходят в точку наблюдения с фазой, отличающейся на π (противофазе).
Если обозначить расстояние от источника до экрана как z, а точку наблюдения принять на оси симметрии, то границы n-й зоны определяются из условия:
$$ r_n - r_{n-1} = \frac{\lambda}{2} $$
где rn — расстояние от границы n-й зоны до точки наблюдения. Радиус ρn n-й зоны в плоскости, перпендикулярной оси:
$$ \rho_n = \sqrt{n \lambda z} $$
Суммируя вклады от всех зон, получаем результирующую амплитуду. Поскольку волны из соседних зон интерферируют в противофазе, общий эффект зависит от количества “открытых” зон и их взаимного фазового вклада.
Метод зон Френеля и амплитудные соображения
Каждая зона Френеля вносит амплитуду, примерно одинаковую по модулю, но с чередующейся фазой. Сумма таких амплитуд приводит к неполному взаимному гашению, и результирующее поле оказывается определённым соотношением между числом открытых зон:
Это объясняет наличие чередующихся светлых и тёмных участков на дифракционной картине.
Дифракция Френеля на прямолинейном крае
Один из наиболее показательных и изученных случаев — дифракция Френеля на краю экрана (полуплоскости). За краем экрана возникает чередование светлых и тёмных полос, идущих параллельно кромке. Эти полосы — результат интерференции волн, прошедших мимо края и частично экранированных.
Если край расположен на расстоянии z от экрана, то координаты экстремумов определяются из условия:
$$ x_n = \sqrt{n \lambda z} $$
где xn — расстояние от края до n-го минимума (или максимума).
Интенсивность на экране можно рассчитать с использованием интегралов Френеля:
$$ I = I_0 \left[ \left( C(\xi) + \frac{1}{2} \right)^2 + \left( S(\xi) + \frac{1}{2} \right)^2 \right] $$
где C(ξ), S(ξ) — функции Френеля, аргумент которых зависит от координаты точки наблюдения, длины волны и расстояния.
Дифракция Френеля на щели
При прохождении света через щель конечной ширины, картина на экране также демонстрирует дифракционную структуру. В условиях ближней зоны, когда расстояние от щели до экрана ограничено, наблюдается сложная интерференционно-дифракционная картина, форма и контрастность которой зависят от:
Интенсивность света в точке x на экране описывается также интегралами Френеля, но с разностью их значений для крайних точек щели. При достаточно малом расстоянии до экрана картина отличается асимметричностью и сглаженностью полос.
Переход к дифракции Фраунгофера
По мере увеличения расстояния z от щели или краевого препятствия до экрана наблюдения, зоны Френеля расширяются, и в пределе при z → ∞ амплитудный вклад зон становится пренебрежимо мал, за исключением осевой области. В этом случае условия меняются:
Это соответствует переходу от дифракции Френеля к дифракции Фраунгофера, что формализуется применением преобразования Фурье к распределению амплитуд в плоскости щели.
Геометрическая зона и принцип экранирования
Если препятствие полностью перекрывает несколько центральных зон Френеля, вклад от них исчезает, и результирующее поле оказывается существенно изменённым. Таким образом, амплитуда в точке наблюдения чувствительна к геометрии экранирования, даже если область перекрыта мала по сравнению с полем зрения.
Это объясняет, почему малое препятствие может создать значительное изменение в интенсивности в ближней зоне, в отличие от предсказаний геометрической оптики.
Применение дифракции Френеля
Дифракция Френеля имеет широкий спектр приложений в физике и технике:
Особенности расчётов и численные методы
Для точного количественного описания дифракции Френеля прибегают к численному вычислению интегралов Кирхгофа и интегралов Френеля. При этом важное значение имеет точность аппроксимации функции амплитуды и фазы на дифрагирующей поверхности.
Для осевой точки наблюдения интеграл Френеля можно аппроксимировать как:
$$ U(P) = \frac{A}{i \lambda z} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(i \frac{\pi x^2}{\lambda z}\right) dx $$
что позволяет перейти от дифракции Френеля к Фраунгоферу при увеличении z. Это ядро преобразования Френеля (параболическое приближение волновой функции).
Сравнение с другими типами дифракции
| Параметр | Дифракция Френеля | Дифракция Фраунгофера |
|---|---|---|
| Расстояние | Конечное | Бесконечное (или коллимация) |
| Геометрия | Сферическая волна | Плоская волна |
| Расчёты | Интегралы Френеля | Преобразование Фурье |
| Полосы | Изогнутые, сгущающиеся | Равномерные, прямые |
| Применение | Микроскопия, ближняя зона | Спектроскопия, голография |
Выводы из теории дифракции Френеля
Дифракция Френеля показывает, что поведение света в ближней зоне существенно отличается от интуитивных представлений геометрической оптики. Пространственное распределение света обусловлено интерференцией многочисленных вкладов с различными фазами, и даже точка тени может оказаться освещённой. Этот эффект особенно нагляден в эксперименте с острым краем, где в “тени” возникают светлые полосы.
Таким образом, теория Френеля является неотъемлемой частью волновой оптики и даёт ключ к пониманию множества оптических явлений, включая разрешающую способность приборов, влияние малых дефектов и распространение света в сложных геометриях.