Геометрия задачи и физическая постановка
Рассматривается распространение монохроматической волны с длиной волны λ, падающей нормально на непрозрачный экран с круглыми отверстиями диаметра D. В центре за экраном устанавливается наблюдательный экран или фотопластинка, фиксирующая распределение интенсивности в области, куда свет проходит через отверстие. При этом источник может быть точечным или коллимированным (параллельный пучок). Исследуем закономерности образования дифракционной картины в этой конфигурации.
В данной задаче дифракции важным параметром выступает параметр Френеля:
$$ F = \frac{a^2}{\lambda z} $$
где a — радиус отверстия, λ — длина волны, z — расстояние от отверстия до наблюдательного экрана.
В зависимости от значения F различают два режима: дифракция Фраунгофера (при больших z) и дифракция Френеля (при малых z). Основной интерес представляет режим Фраунгофера, поскольку он наиболее точно описывает наблюдаемую на практике дифракционную картину в фокальной плоскости линзы или на большом расстоянии.
Принцип Гюйгенса–Френеля и круговое отверстие
Согласно принципу Гюйгенса–Френеля, каждый элемент поверхности отверстия рассматривается как источник вторичных сферических волн. В точке наблюдения происходит интерференция этих волн, и в зависимости от фазового сдвига между ними наблюдается максимум или минимум интенсивности. В случае кругового отверстия волны от краевых элементов отверстия интерферируют с волнами от центра симметрично относительно оси.
При дифракции вблизи оси симметрии картина имеет круглую симметрию и описывается функцией Бесселя первого рода первого порядка. Эту картину называют дифракцией Эйри, а центральное пятно — пятном Эйри.
Математическое описание: распределение интенсивности
Интенсивность света в точке наблюдения определяется квадратом амплитуды результирующей волны. При дифракции на круглых отверстиях в условиях Фраунгофера амплитуда волны в дальнем поле определяется интегралом Фурье от распределения амплитуды в плоскости отверстия. Для круглого отверстия получаем:
$$ I(\theta) = I_0 \left( \frac{2J_1(k a \sin\theta)}{k a \sin\theta} \right)^2 $$
где J₁ — функция Бесселя первого рода первого порядка, k = 2/— волновое число, a* — радиус отверстия, θ — угол отклонения от оси.
Функция в скобках описывает форму центрального и боковых максимумов. Центральный максимум (пятно Эйри) наиболее яркий, его ширина обратно пропорциональна диаметру отверстия и прямо пропорциональна длине волны.
Минимумы наблюдаются в углах, удовлетворяющих условию:
kasin θ = un
где uₙ — n-й нуль функции Бесселя J₁(u). Первый минимум возникает при u₁ ≈ 3.8317, что даёт угол:
$$ \sin\theta_1 \approx 1.22 \frac{\lambda}{D} $$
Таким образом, угловой радиус пятна Эйри:
$$ \theta_1 \approx 1.22 \frac{\lambda}{D} $$
Этот результат используется при расчётах разрешающей способности оптических приборов.
Характеристика дифракционной картины
Картина дифракции на круглом отверстии состоит из:
Радиусы колец определяются нулями функции J₁. Примерные значения первых нулей: u₁ = 3.83, u₂ = 7.02, u₃ = 10.17, u₄ = 13.32 и т. д.
Соответственно, углы, при которых наблюдаются тёмные кольца, рассчитываются по:
$$ \theta_n \approx \frac{u_n \lambda}{\pi D} $$
Интенсивности светлых колец быстро убывают: второе кольцо имеет интенсивность около 1.75% от центрального, третье — около 0.4%, четвёртое — менее 0.1%.
Физическое значение пятна Эйри и разрешающая способность
Размер пятна Эйри определяет предел разрешения дифракционного изображения. Две точечные источника можно различить, если максимумы одного совпадают не с максимумом, а с минимумом другого. Это соответствует критерию Рэлея. Согласно этому критерию, минимальное угловое расстояние между двумя разрешимыми точками:
$$ \theta_{\text{мин}} = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$
Этот результат лежит в основе расчёта пределов разрешения микроскопов, телескопов и других систем, где волновая природа света играет существенную роль.
Влияние параметров системы на дифракционную картину
Увеличение диаметра отверстия D сужает пятно Эйри, повышая разрешающую способность. При этом увеличивается интенсивность центрального пятна и уменьшается количество видимых колец.
Увеличение длины волны λ расширяет пятно Эйри, снижая разрешающую способность.
Увеличение расстояния до экрана z в условиях Фраунгофера приводит к линейному увеличению размеров всей картины, но не влияет на её угловую структуру.
Отклонение от условий Фраунгофера (уменьшение z) ведёт к более сложной картине, описываемой теорией Френеля и требующей численного моделирования через зоны Френеля.
Экспериментальные наблюдения и применение
Дифракция на круглом отверстии легко наблюдается в лабораторных условиях. Для этого достаточно использовать лазер, непрозрачный экран с небольшим отверстием и наблюдательный экран или фотоматрицу. Полученная картина обладает высокой симметрией, что делает её удобной для анализа и сравнения с теорией.
Применения:
Сравнение с дифракцией на щели
В отличие от прямолинейной щели, дифракционная картина круглого отверстия обладает круговой симметрией и описывается функциями Бесселя, а не синусами. Щелевая дифракция приводит к образованию полос, тогда как круговое отверстие формирует концентрические кольца. Тем не менее, основные принципы интерференции и фазовых соотношений остаются аналогичными.
Численные примеры
Рассмотрим лазер с λ = 633 нм (гелий-неоновый), отверстие диаметром D = 0.5 мм. Угловой радиус пятна Эйри:
$$ \theta_1 = 1.22 \cdot \frac{633 \cdot 10^{-9}}{0.5 \cdot 10^{-3}} \approx 1.54 \cdot 10^{-3} \text{ рад} \approx 5.3' \text{ угл. минут} $$
Если экран расположен на расстоянии z = 2 м, то линейный радиус пятна:
r = z ⋅ θ1 ≈ 2 ⋅ 1.54 ⋅ 10−3 = 3.08 мм
Таким образом, пятно Эйри будет иметь диаметр около 6.16 мм на экране.
Формирование ограничивающей апертуры в приборах
Во многих оптических приборах диафрагма или объектив действует как круглая апертура. Следовательно, вся система ограничена дифракцией на круглом отверстии. Например, при уменьшении диаметра входной зрачковой диафрагмы резко возрастает значение θ₁, и изображение начинает терять чёткость — это фундаментальный предел разрешения.
Связь с зонной теорией Френеля
Хотя при больших расстояниях применим анализ Фраунгофера, в случае ближнего поля может быть применена теория зон Френеля. Каждая зона вносит вклад с определённой фазой, и в круглой апертуре зонам соответствует совокупность колец с определённым радиусом. Суммарная амплитуда волны в точке наблюдения — это сумма вкладов от этих зон, что приводит к сходным результатам, но с иными количественными характеристиками.
Заключительные замечания по методологии расчёта
Точная количественная интерпретация требует численного расчёта функции Бесселя и построения графиков интенсивности. Для точных вычислений применяются цифровые методы, включая быстрое преобразование Фурье (FFT) и моделирование методом Френеля или Ричардсона–Люси для восстановления изображения.
Таким образом, дифракция на круглом отверстии — это классический пример волновой природы света, позволяющий наглядно продемонстрировать ограниченность разрешения и фундаментальные законы интерференции.