Дифракция на щели

Прямолинейность распространения света и явление дифракции

В геометрической оптике свет рассматривается как распространяющийся по прямолинейным траекториям. Однако, когда волна сталкивается с препятствием или проходит через узкое отверстие, наблюдаются отклонения от прямолинейного распространения. Это явление называется дифракцией. В случае дифракции на щели основное внимание уделяется изменению интенсивности света в зависимости от угла наблюдения, возникающему вследствие интерференции вторичных волн, распространяющихся из различных участков щели.

Геометрическая модель и предпосылки анализа

Рассмотрим параллельный пучок монохроматического света, падающий перпендикулярно на экран с узкой прямолинейной щелью шириной a. За щелью на расстоянии L ≫ a располагается экран, на котором наблюдается характерное интерференционно-дифракционное распределение интенсивности.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, каждый элемент щели рассматривается как источник вторичной сферической волны. Волны от различных точек щели интерферируют между собой, создавая на экране области усиления и ослабления освещённости.

Условие наблюдения дифракции и режим Фраунгофера

Для получения чёткой дифракционной картины необходимо выполнение условий:

  • щель должна быть узкой: a ∼ λ;
  • источник света — квазимонохроматический;
  • расстояние до экрана или линзы должно обеспечивать параллельность волновых фронтов на щели.

Когда волны, прошедшие через щель, можно считать плоскими, а наблюдение проводится в фокальной плоскости собирающей линзы (или на экране на очень большом удалении), реализуется режим дифракции Фраунгофера. Он существенно упрощает математическое описание, так как волны считаются параллельными и интерференция происходит между волнами с постоянной разностью фаз.

Аналитическое описание дифракции на одной щели

Обозначим:

  • a — ширина щели,
  • λ — длина волны света,
  • θ — угол между направлением распространения света и точкой наблюдения на экране,
  • $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число.

Выбираем систему координат так, чтобы щель занимала интервал от $-\frac{a}{2}$ до $\frac{a}{2}$ вдоль оси x, перпендикулярной направлению распространения волны. Суммарная амплитуда поля в направлении θ равна интегралу:

E(θ) ∝ ∫−a/2a/2eikxsin θdx

Решая этот интеграл:

$$ E(\theta) \propto \dfrac{\sin\left( \frac{ka}{2} \sin\theta \right)}{\frac{ka}{2} \sin\theta} = \text{sinc}\left( \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} \right) $$

Тогда интенсивность в данной точке экрана будет:

$$ I(\theta) = I_0 \left[ \dfrac{\sin\left( \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} \right)}{\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda}} \right]^2 $$

где I0 — интенсивность в центре экрана при θ = 0.

Положение минимумов и максимумов

Минимумы дифракционной картины (нулевая интенсивность) соответствуют условиям:

$$ \frac{\pi a \sin\theta}{\lambda} = n\pi,\quad n = \pm 1, \pm 2, \dots \Rightarrow a \sin\theta_n = n\lambda $$

Это углы, при которых происходит полное гашение волнового вклада за счёт интерференции.

Максимумы (второстепенные) расположены между минимумами, но их точные углы определяются численно, так как производная функции синуса по аргументу даёт трансцендентное уравнение. Первый максимум (после главного) примерно в 1.43 раза слабее центрального.

Центральный максимум

Наиболее интенсивная область наблюдается при θ = 0. Её ширина определяется расстоянием между двумя соседними минимумами:

$$ \Delta\theta = \theta_1 - (-\theta_1) \approx \frac{2\lambda}{a} $$

Таким образом, при уменьшении ширины щели a центральный максимум расширяется, демонстрируя характерный для волновой природы света эффект.

Физическая интерпретация

Каждая точка щели даёт вклад в амплитуду результирующего колебания. Центральный максимум — результат когерентного сложения всех волн с малой разностью фаз. При увеличении угла θ фазовая разность между краевыми элементами становится значительной, приводя к деструктивной интерференции и формированию минимумов.

Дифракция на щели иллюстрирует фундаментальный принцип неопределённости: уменьшение ширины щели увеличивает угловое рассеяние света, что есть аналог волнового анализа ограничения в координате, влекущего за собой расширение в пространстве импульсов.

Широкая и узкая щель: особенности картины

  • Узкая щель: a ≲ λ — широкая картина, возможен только центральный максимум, интенсивность невелика.
  • Средняя щель: a ∼ 5λ — хорошо выраженные несколько минимумов и максимумов.
  • Широкая щель: a ≫ λ — дифракционная картина сжатая, центральный максимум узкий, появляется много слабых побочных максимумов.

Опыт Юнга как комбинация дифракции и интерференции

Если за щелью разместить ещё одну (двойную) щель, то наблюдаемая картина представляет собой модуляцию интерференционных полос огибающей дифракционной картины одиночной щели. Это подчёркивает двойственную природу явлений: интерференция возможна только при когерентности, но её распределение формируется дифракционным разложением каждой щели.

Практические применения

  • Определение длины волны света,
  • Оценка размеров микроскопических объектов по их дифракционной тени,
  • Оптические сенсоры и датчики,
  • Лазерные технологии и голография,
  • Апертурные фильтры в оптических системах.

Зависимость от длины волны и других параметров

Интенсивность и структура картины чувствительны к длине волны. При использовании белого света центральный максимум остаётся белым, а окрашенные боковые максимумы смещаются в зависимости от λ, проявляя дисперсионный эффект. Таким образом, дифракция на щели позволяет визуализировать спектральный состав излучения.

Экспериментальное наблюдение

Для наблюдения дифракционной картины достаточно использовать лазер и регулируемую щель. При уменьшении ширины щели визуально наблюдается расширение центрального пятна, что наглядно подтверждает теоретический анализ. Размытие и уменьшение контрастности при использовании некогерентного источника подтверждают необходимость когерентности и монохроматичности.

Оглавление