Дифракция на системе щелей

Постановка задачи и физическая модель

Рассмотрим прохождение когерентного монохроматического света через систему из нескольких параллельных щелей, например — двух или более. Такая система называется решёткой, если число щелей велико, и интерференция света, прошедшего через эти щели, приводит к характерной дифракционной картине на экране в удалённой (Фраунгоферовской) области. Дифракция на двух щелях — это простейший случай многощелевой дифракции, который позволяет наглядно продемонстрировать интерференционные эффекты при наличии ограниченного числа источников вторичных волн.

Пусть каждая щель имеет ширину a, а расстояние между центрами соседних щелей (период системы) равно d. Свет с длиной волны λ падает перпендикулярно плоскости щелей. Предполагаем, что наблюдение ведётся в области Фраунгофера, то есть в удалённой зоне, где волны от всех точек щелей можно считать плоскими, и угол θ измеряется от направления на оптическую ось (перпендикуляр к плоскости щелей).

Интенсивность дифракционной картины

Интенсивность света за системой из N щелей получается как результат наложения двух эффектов:

  1. Дифракции на одной щели — определяет огибающую всей картины;
  2. Интерференции от нескольких щелей — даёт внутри огибающей резкие максимумы.

Результирующая интенсивность в направлении θ задаётся выражением:

$$ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2 \left( \frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)} \right)^2 $$

где

$$ \beta = \frac{\pi a}{\lambda} \sin \theta, \quad \delta = \frac{2\pi d}{\lambda} \sin \theta $$

Здесь:

  • Первый множитель $\left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2$ соответствует дифракции на одной щели;
  • Второй множитель $\left( \frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)} \right)^2$ описывает интерференционную структуру от N щелей;
  • I0 — интенсивность в нулевом направлении.

Положение главных максимумов

Главные максимумы интерференционной картины наблюдаются в направлениях, для которых фазы от соседних щелей различаются на целое число 2π, то есть

dsin θm = mλ,  m = 0, ±1, ±2, …

где m — порядок максимума. Эти максимумы соответствуют направлениям, в которых волны от всех щелей приходят в фазе.

Если ширина щели a мала по сравнению с длиной волны λ, то дифракционная огибающая широкая, и главные максимумы интерференции заметны на фоне общего распределения интенсивности. При увеличении a огибающая сужается, подавляя часть интерференционных максимумов.

Положение нулей и дополнительных минимумов

Положения нулей интерференционной составляющей (второстепенных минимумов) определяются из условия:

$$ \frac{N\delta}{2} = n\pi, \quad n \not\in N\mathbb{Z} $$

Это даёт N − 1 минимум между соседними главными максимумами.

Нули дифракционной огибающей (при дифракции на одной щели) возникают, когда β = mπ, m ≠ 0, то есть:

asin θ = mλ,  m = ±1, ±2, …

Если какой-либо главный максимум интерференции попадает в нуль дифракционной огибающей, то он подавляется, несмотря на то, что фазы от всех щелей совпадают.

Дифракционная решётка и большое число щелей

Если число щелей N становится очень большим (например, N ∼ 103 и более), система превращается в дифракционную решётку. Для неё картина резко изменяется: главные максимумы становятся узкими и интенсивными, тогда как между ними интенсивность стремится к нулю. Это используется в спектральных приборах, так как даёт возможность пространственно разделять свет с разными длинами волн.

Ширина главного максимума порядка m оценивается как:

$$ \Delta \theta_m \approx \frac{\lambda}{N d \cos \theta_m} $$

Таким образом, разрешающая способность решётки возрастает с увеличением числа щелей. Разрешающая способность R задаётся формулой:

$$ R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = mN $$

что показывает, что для высокоточной спектроскопии выгодно использовать высокие порядки дифракции и большое число щелей.

Экспериментальные особенности

В реальных условиях важно учитывать следующие моменты:

  • Щели не бесконечно узкие, а имеют конечную ширину, поэтому наблюдается наложение дифракции и интерференции.
  • Если освещение не полностью монохроматическое, то максимумам будут соответствовать разные длины волн, что приведёт к их размытию или расщеплению.
  • Угловая дисперсия дифракционной системы определяется производной $\frac{d\theta}{d\lambda}$, и она пропорциональна порядку m, что делает высокие порядки особенно чувствительными к изменениям длины волны.
  • Влияние несовершенств, например, непараллельность щелей или неоднородность их ширины, приводит к искажению картины, размытию максимумов и потере контраста.

Сравнение с однощелевой дифракцией

Если рассмотреть только одну щель, то наблюдаемая картина обусловлена только функцией $\left( \frac{\sin \beta}{\beta} \right)^2$, не содержащей острых максимумов. При добавлении второй и более щелей к картине добавляются острые интерференционные пики внутри широкой огибающей. Таким образом, многощелевая система даёт возможность существенно усилить направленность излучения и использовать это свойство в практических оптических приборах.

Принцип суперпозиции в действии

Все явления, происходящие при дифракции на системе щелей, являются прямым следствием принципа Гюйгенса-Френеля. Каждая щель становится источником когерентной вторичной волны, и результирующая волна — это суперпозиция всех вторичных волн. Геометрия щелей, их количество и размеры определяют, в каких направлениях интерференция будет конструктивной или деструктивной.

Применение

Многощелевая дифракция лежит в основе:

  • спектрометров и монохроматоров;
  • лазерной оптики (формирование пучков, дифракционные оптические элементы);
  • голографии;
  • измерений длины волны, разрешения и других параметров оптических систем;
  • современных систем обработки и разделения сигналов (оптоволоконные фильтры).

В этом контексте особенно важно понимание того, как структура и параметры щелевой системы влияют на форму и распределение дифракционной картины, что позволяет точно проектировать и калибровать устройства в зависимости от нужд конкретного приложения.

Оглавление