Электронная теория дисперсии

Основные положения классической электронной теории

Электронная теория дисперсии света основывается на представлении о том, что электромагнитная волна взаимодействует с заряженными частицами вещества — в первую очередь с электронами. Под действием переменного электрического поля световой волны электроны совершают вынужденные колебания, при этом излучают вторичные волны, сумма которых образует прошедшую или отражённую волну. Свойства этой волны зависят от частоты возбуждающего поля, массы и заряда электронов, а также от силы их связи с атомами или молекулами.

Основу классической модели составляют уравнения движения электронов, рассматриваемых как гармонически связанных с узлами атомной решетки. Динамика таких электронов описывается уравнением:

$$ m\ddot{x} + m\gamma\dot{x} + m\omega_0^2 x = -eE(t) $$

где:

  • m — масса электрона,
  • γ — коэффициент затухания (потери энергии, например, на излучение),
  • ω0 — собственная частота колебаний (частота связи),
  • x — смещение электрона,
  • e — заряд электрона,
  • E(t) = E0e−iωt — переменное внешнее электрическое поле световой волны частоты ω.

Комплексная поляризуемость и диэлектрическая проницаемость

Решая уравнение движения для периодического внешнего поля, получаем выражение для амплитуды смещения электрона:

$$ x(\omega) = \frac{eE_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)} $$

Поляризация среды:

$$ P = -Ne x = \frac{Ne^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)} E_0 $$

где N — концентрация электронов. Из соотношения между поляризацией и электрическим полем можно определить диэлектрическую проницаемость:

$$ \varepsilon(\omega) = 1 + \frac{4\pi Ne^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)} $$

С помощью связи между диэлектрической проницаемостью и показателем преломления:

n2(ω) = ε(ω)

получаем зависимость показателя преломления от частоты света — т.е. выражение для дисперсии.

Нормальная и аномальная дисперсия

Величина n(ω) изменяется в зависимости от частоты. При ω ≪ ω0, наблюдается нормальная дисперсия, т.е. n монотонно убывает с увеличением частоты.

Вблизи резонансной частоты ω0 происходят резкие изменения: значение n может как быстро возрастать, так и убывать в зависимости от деталей затухания и плотности электронов. В этом диапазоне наблюдается аномальная дисперсия, сопровождающаяся сильным поглощением света.

Комплексный показатель преломления и поглощение

Чтобы учесть поглощение, вводится комплексный показатель преломления:

ñ = n + iκ

где κ — коэффициент поглощения, определяющий экспоненциальное затухание интенсивности волны в веществе:

I(x) = I0e−2κωx/c

Из выражения для ε(ω) можно получить как действительную, так и мнимую части показателя преломления, что позволяет предсказать и дисперсионные свойства, и спектр поглощения.

Модель Лоренца – классическое приближение

Рассмотрение многих типов электронов, связанных с различными частотами резонанса ω0j, приводит к обобщённой формуле:

$$ \varepsilon(\omega) = 1 + \sum_j \frac{f_j 4\pi Ne^2}{m(\omega_{0j}^2 - \omega^2 - i\gamma_j\omega)} $$

где fj — осцилляторные силы, характеризующие вклад каждой резонансной частоты в суммарную диэлектрическую проницаемость.

Каждое слагаемое соответствует отдельному типу колебательной моды: валентные электроны, электронные оболочки, резонансы в УФ-области и т.д.

Пределы применимости классической модели

Классическая электронная теория объясняет поведение света в диэлектриках и полупроводниках при не слишком высоких частотах. Однако она не может описать:

  • детальную структуру спектров поглощения (тонкую и сверхтонкую структуру),
  • квантовую природу переходов между энергетическими уровнями,
  • насыщение и нелинейные эффекты при интенсивном свете.

Для этих целей требуется квантовая теория дисперсии, где поглощение и излучение объясняются как результат квантовых переходов между дискретными уровнями энергии.

Связь с экспериментом и областью применимости

Электронная теория даёт удовлетворительное описание:

  • зависимости показателя преломления от длины волны в прозрачных средах;
  • поведения света в газах и жидкостях;
  • резонансных областей спектров, где наблюдаются пик поглощения и резкое изменение n(ω).

Экспериментальные спектры дисперсии и поглощения подтверждают качественные выводы модели, а численные параметры (осцилляторные силы, затухание, концентрации электронов) подбираются из анализа спектров.

Явления, связанные с электронной дисперсией

  • Формирование спектральных окон прозрачности — диапазоны, где поглощение мало, а n ведёт себя монотонно.
  • Поглощение в ультрафиолетовой и инфракрасной областях — связано с переходами между энергетическими уровнями.
  • Нелинейная дисперсия вблизи резонансов — основа для ряда оптических эффектов (оптические солитоны, автоколебания и др.).
  • Обратная связь между групповой и фазовой скоростью — важна в телекоммуникациях и при передаче световых импульсов.

Современные обобщения

Модель Лоренца была усовершенствована в рамках квантовой электродинамики и теории твёрдого тела. Вводятся понятия:

  • Плазменной частоты — частоты коллективных колебаний свободных электронов;
  • Полупроводниковой дисперсии — с учетом зоны проводимости и запрещенной зоны;
  • Анизотропной дисперсии — в кристаллах с различной диэлектрической проницаемостью по осям.

Эти подходы расширяют область применимости теории и позволяют описывать оптические свойства сложных сред, включая наноструктуры, метаматериалы и фотонные кристаллы.

Оглавление