Формула Коши

Дисперсия света и необходимость аналитического описания

Явление дисперсии, заключающееся в зависимости показателя преломления среды от частоты (или длины волны) света, имеет фундаментальное значение для описания распространения волн в оптических материалах. При изучении слабодиспергирующих сред, особенно в диапазонах, удалённых от резонансных частот, можно прибегнуть к приближённым аналитическим выражениям, которые отражают характер изменения показателя преломления с длиной волны. Одной из наиболее широко применяемых в классической оптике является формула Коши, эмпирически установленная на основе экспериментальных данных.

Общее выражение формулы Коши

Формула Коши связывает показатель преломления n прозрачной диэлектрической среды с длиной волны света λ в вакууме посредством разложения в обратных степенях длины волны:

$$ n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \frac{D}{\lambda^6} + \ldots $$

где:

• A, B, C, D, … — эмпирические коэффициенты, зависящие от природы среды,
• λ — длина волны, выраженная в микрометрах (или нанометрах, в зависимости от используемой системы),
• n(λ) — показатель преломления для длины волны λ.

На практике, как правило, достаточно ограничиться первыми двумя или тремя членами ряда:

$$ n(\lambda) \approx A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} $$

Эта формула хорошо описывает нормальную дисперсию в оптическом диапазоне, то есть область, в которой показатель преломления монотонно убывает с увеличением длины волны.

Физическое обоснование формулы

Хотя формула Коши была выведена на эмпирической основе, её можно интерпретировать как следствие более общей электронной теории дисперсии, в частности — классической модели Лоренца. Согласно этой модели, атомы и молекулы диэлектрика содержат связанные электронные осцилляторы, которые взаимодействуют с падающим электромагнитным полем. В диапазоне длин волн, значительно превышающих резонансные, зависимость диэлектрической проницаемости и, следовательно, показателя преломления, может быть разложена в ряд по обратным степеням частоты или длины волны. Таким образом, формула Коши представляет собой частный случай дальнерезонансного разложения.

Анализ коэффициентов

Коэффициенты A, B, C в формуле Коши подбираются таким образом, чтобы аппроксимировать экспериментальные значения n(λ) с высокой точностью в определённом спектральном диапазоне. Значения этих коэффициентов зависят от структуры материала, его химического состава и температуры.

• Коэффициент A приближённо соответствует показателю преломления при бесконечно большой длине волны, то есть в пределе λ → ∞.
• Коэффициент B определяет основную дисперсионную кривизну: чем он больше, тем быстрее убывает n с ростом λ.
• Коэффициент C и последующие уточняют форму дисперсионной кривой, особенно в ближней ультрафиолетовой области.

Диапазон применимости

Формула Коши применима для:

• прозрачных сред в области нормальной дисперсии (вдали от резонансных полос поглощения),
• диэлектриков (стёкол, жидкостей, кристаллов) в оптическом диапазоне — от инфракрасного до ближнего ультрафиолета,
• слабодиспергирующих сред, где изменение n с λ невелико, и не наблюдается резкого возрастания или падения показателя преломления.

В области аномальной дисперсии, где наблюдаются резонансные пики и резкие изменения n(λ), формула Коши неприменима — здесь необходимо использовать либо формулу Зелмейера, либо более полные модели, основанные на электронной теории.

Дифференциальная дисперсия и производные от формулы Коши

Из формулы Коши можно аналитически вывести выражения для дисперсии первой и второй степени, что особенно важно при анализе групповой скорости волн, ширины спектральных линий, хроматической аберрации и других явлений.

Первая производная показателя преломления по длине волны (оптическая дисперсия первого порядка):

$$ \frac{dn}{d\lambda} = -\frac{2B}{\lambda^3} - \frac{4C}{\lambda^5} $$

Вторая производная:

$$ \frac{d^2n}{d\lambda^2} = \frac{6B}{\lambda^4} + \frac{20C}{\lambda^6} $$

Знак производной $\frac{dn}{d\lambda} < 0$ указывает на нормальную дисперсию.

Примеры расчёта и практическое применение

Для конкретного материала, например, обычного оптического стекла (крона, флинта), коэффициенты Коши могут быть заданы в табличной форме. Например, для крона:

$$ n(\lambda) = 1.514 + \frac{0.00420}{\lambda^2} + \frac{0.000126}{\lambda^4} $$

Для длины волны λ = 0.589 μм (жёлтая линия натрия), получаем:

$$ n(0.589) \approx 1.514 + \frac{0.00420}{(0.589)^2} + \frac{0.000126}{(0.589)^4} \approx 1.522 $$

Этот результат согласуется с табличными данными, подтверждая точность формулы в заданной области.

В практической оптике формула Коши применяется при:

• расчёте хроматических аберраций в линзах,
• проектировании интерференционных устройств (интерферометров, спектрометров),
• построении моделей распространения импульсных сигналов в оптоволокне,
• анализе температурной зависимости дисперсии, так как коэффициенты могут быть также функцией температуры.

Связь с формулой Зелмейера

Если формула Коши удобна для дальнерезонансной области, то формула Зелмейера:

$$ n^2(\lambda) = 1 + \frac{A_1 \lambda^2}{\lambda^2 - \lambda_1^2} + \frac{A_2 \lambda^2}{\lambda^2 - \lambda_2^2} + \ldots $$

учитывает резонансные частоты среды и подходит для более точного описания вблизи ультрафиолетовых границ. Однако формула Коши проще в применении и чаще используется в инженерных расчётах при условии, что диапазон длин волн далёк от поглощения.

Преимущества и ограничения формулы Коши

Преимущества:

• Простота и наглядность;
• Лёгкость применения для аналитических и численных расчётов;
• Высокая точность в ограниченном спектральном диапазоне.

Ограничения:

• Неприменима в области аномальной дисперсии;
• Не учитывает внутреннюю структуру резонансных частот;
• Не пригодна для сильно поглощающих или металлоподобных сред.

Таким образом, формула Коши — мощный инструмент в классической оптике, позволяющий описывать поведение света в прозрачных средах с высокой степенью точности, при этом оставаясь достаточно простой для включения в учебные и инженерные модели.