Формула Планка

Формула Планка. Квантовый характер теплового излучения

Фундаментальные основы теплового излучения

Тепловое излучение представляет собой электромагнитное излучение, испускаемое телом вследствие его внутренней температуры. При исследовании спектра излучения абсолютно чёрного тела в конце XIX века стало ясно, что классическая физика не может объяснить распределение энергии по частотам излучения. Законы Рэлея-Джинса давали приемлемое согласие с экспериментом в области длинных волн, но приводили к так называемой ультрафиолетовой катастрофе, предсказывая бесконечную энергию излучения при малых длинах волн. Это противоречие было устранено только введением гипотезы кванта энергии.

Вывод формулы Планка и её физический смысл

В 1900 году Макс Планк предложил модель, в которой энергия излучающих осцилляторов (резонаторов) квантуется, то есть может принимать лишь дискретные значения, кратные элементарной энергии:

En = nhν,  n = 0, 1, 2, …

где En — энергия n-го уровня, h — постоянная Планка (h ≈ 6, 626 × 10−34 Дж·с), ν — частота осциллятора.

Согласно Планку, вероятность нахождения осциллятора на определённом энергетическом уровне определяется законом Больцмана:

$$ P_n = \frac{e^{-E_n / kT}}{Z}, \quad \text{где } Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-E_n / kT} $$

Тогда средняя энергия одного осциллятора определяется выражением:

$$ \langle E \rangle = \sum_{n=0}^\infty E_n \cdot P_n = \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT} - 1} $$

Умножив эту среднюю энергию на плотность мод излучения в полости, получаем спектральную плотность энергетической светимости абсолютно чёрного тела:

$$ u(\nu, T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \cdot \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT} - 1} $$

где u(ν, T) — энергия излучения в единичном объёме в интервале частот ν и ν + dν, c — скорость света в вакууме, k — постоянная Больцмана.

Это выражение и называется формулой Планка. Оно точно описывает спектр теплового излучения во всём диапазоне частот и устраняет ультрафиолетовую катастрофу.

Формула Планка в зависимости от длины волны

С помощью перехода от переменной ν к длине волны λ = c/ν можно записать формулу Планка в форме:

$$ u(\lambda, T) = \frac{8\pi h c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1} $$

Эта форма более удобна для сопоставления с экспериментальными спектрами, которые чаще измеряются в координатах “длина волны – интенсивность”.

Анализ асимптотических пределов

  • В пределе малых частот (hν ≪ kT) экспонента в формуле раскладывается в ряд, и получаем:

$$ u(\nu, T) \approx \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \cdot kT $$

что соответствует формуле Рэлея-Джинса, справедливой в области длинных волн.

  • В пределе больших частот (hν ≫ kT) экспонента становится намного больше единицы, и можно записать:

$$ u(\nu, T) \approx \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot e^{-h\nu/kT} $$

что соответствует закону Вина, верному в области коротких волн.

Таким образом, формула Планка объединяет оба предельных случая в едином выражении.

Интегральные следствия формулы Планка

Интегрирование спектральной плотности по всем частотам даёт общую плотность энергии излучения:

$$ u(T) = \int_0^\infty u(\nu, T) \, d\nu = \frac{8\pi^5 k^4}{15 c^3 h^3} T^4 $$

Это приводит к закону Стефана-Больцмана:

$$ j^* = \sigma T^4, \quad \text{где } \sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} $$

Таким образом, формула Планка является более фундаментальной, чем закон Стефана-Больцмана, поскольку последний следует из неё как следствие интегрирования.

Роль формулы Планка в развитии физики

Введение кванта энергии стало первым шагом к формированию квантовой теории. Сам Планк первоначально рассматривал своё уравнение как чисто формальную гипотезу, необходимую для согласования с экспериментом, однако последующая работа Эйнштейна по объяснению фотоэффекта и развитие квантовой механики подтвердили реальность квантования энергии.

Формула Планка стала одним из краеугольных камней физики XX века, поскольку она:

  • ввела представление о дискретных порциях энергии;
  • объяснила спектр абсолютно чёрного тела;
  • устранила логические противоречия классической теории излучения;
  • дала рождение квантовой гипотезе, приведшей к революции в физике.

Спектральное распределение и максимум излучения

Положение максимума спектра излучения λmax зависит от температуры. Это положение можно определить из условия максимума функции u(λ, T). Результатом является закон смещения Вина:

λmaxT = b,  b ≈ 2, 898 × 10−3 м·К

Этот закон также следует из формулы Планка путём её математического анализа. Он показывает, что с ростом температуры максимум излучения смещается в область более коротких волн.

Экспериментальное подтверждение

Спектры излучения, измеренные в лабораториях и в астрономии, с высокой точностью соответствуют формуле Планка. Примером служит спектр солнечного излучения, который почти идеально аппроксимируется моделью абсолютно чёрного тела с температурой около 5777 К.

Применение формулы Планка

Формула Планка и её следствия находят применение в различных разделах физики и техники:

  • астрофизика: определение температуры звёзд и планет;
  • термография: измерение температур по излучению;
  • лазерная и инфракрасная техника;
  • разработка спектральных сенсоров и калориметров;
  • теория квантовых осцилляторов и фотонных газов.

Кроме того, она лежит в основе статистики бозонов и теории фотонов, представляющих собой кванты электромагнитного поля.

Оглавление