Формулы Френеля

Формулы Френеля: теория, выводы и физический смысл

Рассмотрим электромагнитную волну, падающую из одной однородной изотропной среды с показателем преломления n₁ под углом θ₁ на границу с другой средой с показателем преломления n₂. На границе происходит частичное отражение и частичное преломление волны. Для количественного описания этого явления вводятся коэффициенты отражения и коэффициенты пропускания, которые зависят от поляризации волны и угла падения.

Геометрия задачи

Пусть граница двух сред совпадает с плоскостью z = 0, а падающая волна распространяется в плоскости xz. Тогда:

Волна падает под углом θ₁;
Преломляется под углом θ₂, определяемым законом Снеллиуса:

n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂

Из-за разной природы векторов электрического поля, различают два случая поляризации:

Параллельная поляризация (или p-поляризация) — вектор E лежит в плоскости падения;
Перпендикулярная поляризация (или s-поляризация) — вектор E перпендикулярен плоскости падения.

Основные соотношения: Формулы Френеля

Для обеих поляризаций выводятся коэффициенты отражения r и пропускания t, которые выражают амплитуды отражённой и преломлённой волн через амплитуду падающей.

Перпендикулярная (s) поляризация

Коэффициент отражения:

$$ r_s = \frac{n_1 \cos\theta_1 - n_2 \cos\theta_2}{n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} $$
Коэффициент пропускания:

$$ t_s = \frac{2n_1 \cos\theta_1}{n_1 \cos\theta_1 + n_2 \cos\theta_2} $$

Параллельная (p) поляризация

Коэффициент отражения:

$$ r_p = \frac{n_2 \cos\theta_1 - n_1 \cos\theta_2}{n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2} $$
Коэффициент пропускания:

$$ t_p = \frac{2n_1 \cos\theta_1}{n_2 \cos\theta_1 + n_1 \cos\theta_2} $$

Эти выражения справедливы для диэлектриков, когда среды невпитывающие (без поглощения) и с ненулевыми значениями n₁, n₂. В случае комплексных показателей преломления формулы модифицируются.

Энергетические коэффициенты

Для анализа передаваемой и отражённой энергии вводятся коэффициенты отражения и пропускания по интенсивности:

R = |r|² — доля интенсивности, отражённая от границы;
$T = \frac{n_2 \cos\theta_2}{n_1 \cos\theta_1} |t|^2$ — доля интенсивности, переданная через границу.

Они удовлетворяют соотношению:

R + T = 1

для случая отсутствия потерь.

Угол Брюстера

Особое значение приобретает угол падения, при котором отражённая волна полностью отсутствует для параллельной поляризации. Это угол Брюстера θ_B, определяемый из условия r_p = 0:

$$ \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} $$

При этом отражённая волна отсутствует, а преломлённая — полностью поляризована. Это используется в устройствах поляризации света.

Полное внутреннее отражение

Если n₁ > n₂, то при превышении некоторого критического угла θ_c, определяемого как:

$$ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} $$

угол преломления становится мнимым, и возникает полное внутреннее отражение: вся энергия отражается обратно в первую среду. В этом случае R = 1, а T = 0.

При этом вторая среда всё же не является полностью «невовлечённой» — в ней возникает затухающая волна (еванесцентное поле), экспоненциально убывающее с расстоянием от границы.

Угловая зависимость коэффициентов

Поведение при малых углах

При θ₁ → 0 оба коэффициента отражения стремятся к:

$$ r_s \approx r_p \approx \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} $$

Приближение к углу Брюстера

Вблизи угла Брюстера коэффициент r_p → 0, а r_s остаётся конечным и отрицательным. Это означает, что отражённый свет в этой области приобретает высокую степень поляризации.

Приближение к 90^∘

При θ₁ → 90^∘ (скользящее падение) отражение для обеих поляризаций приближается к 1:

R_s → 1, R_p → 1

но с разной фазовой зависимостью.

Фазовые сдвиги при отражении

При отражении волны от границы раздела фазовый сдвиг может отличаться от нуля и зависит от поляризации:

При n₂ > n₁ отражённая волна приобретает сдвиг фазы π (инверсия фазы).
При n₂ < n₁ фазовый сдвиг может отсутствовать или быть меньше π, особенно в случае полного внутреннего отражения, где возникает частотнозависимый сдвиг.

Фазовый сдвиг играет важную роль в интерференционных явлениях и при построении многослойных покрытий.

Математический вывод формул Френеля

Вывод осуществляется на основе граничных условий для электромагнитных волн на границе двух сред:

Непрерывность касательной компоненты электрического поля E_τ
Непрерывность касательной компоненты магнитного поля H_τ

Для падающей, отражённой и преломлённой волн записываются выражения для электрических и магнитных полей в виде плоских волн. После подстановки в граничные условия получаются линейные уравнения относительно амплитуд. Решение этих уравнений и даёт формулы Френеля.

Практическое применение

Формулы Френеля используются в:

проектировании оптических покрытий (просветление, зеркала, фильтры);
анализе интерференции и поляризации;
расчетах волноводов, диэлектрических интерфейсов;
лазерной физике и фотонике;
расчетах энергоэффективности в солнечных панелях;
описании отражения и пропускания в биофотонике (например, в тканях и биополимерах).

Особенности при комплексных показателях преломления

Если одна из сред поглощает свет, то показатель преломления становится комплексным:

ñ = n + iκ

В этом случае формулы Френеля усложняются, так как угол преломления становится комплексным, и возникают экспоненциально затухающие компоненты в преломлённой волне. Это особенно важно при описании металлов и полупроводников в оптическом диапазоне.

Связь с отражением от многослойных структур

Формулы Френеля лежат в основе более сложных моделей отражения от многослойных систем, таких как:

Брэгговские зеркала;
Антирефлексные покрытия;
Фильтры на тонких плёнках.

Каждый интерфейс между слоями рассчитывается по формулам Френеля, и общее поведение определяется интерференцией всех частичных отражений.

Графическая интерпретация

Зависимость R(θ₁) и T(θ₁) иллюстрируется характерными кривыми:

Для s-поляризации R монотонно возрастает;
Для p-поляризации наблюдается провал до нуля в точке Брюстера;
При переходе через критический угол θ_c R скачкообразно переходит к 1, а T к 0.

Такие графики дают наглядное представление об оптических свойствах интерфейса.