Общие фотометрические законы для точечных источников света
Закон обратных квадратов расстояния
Один из фундаментальных законов фотометрии — закон обратных квадратов, который описывает, как изменяется освещённость (или сила света) при удалении от точечного источника. Согласно этому закону, освещённость E, создаваемая точечным источником света на поверхности, обратно пропорциональна квадрату расстояния r от источника до освещаемой поверхности:
$$ E = \frac{I}{r^2} $$
где E — освещённость (лк), I — сила света источника в данном направлении (кд), r — расстояние от источника до точки наблюдения (м).
Этот закон вытекает из геометрических соображений: по мере удаления от источника световой поток распространяется по всё большей площади, что приводит к уменьшению плотности потока (освещённости). Поверхность сферы радиуса r имеет площадь 4πr2, и при неизменной силе света плотность потока убывает как 1/r2.
Важно помнить, что данный закон строго справедлив только для изотропного точечного источника в однородной среде, когда не учитываются ни отражения, ни преломления, ни поглощение света в среде.
Закон Ламберта для направленного излучения
В реальных условиях точечный источник может излучать свет не одинаково во все стороны. Если поток направлен под углом θ к нормали освещаемой поверхности, то освещённость уменьшается пропорционально косинусу этого угла. Это описывает закон Ламберта:
$$ E = \frac{I \cdot \cos \theta}{r^2} $$
где θ — угол между направлением падения света и нормалью к освещаемой поверхности.
Закон Ламберта применим также при описании яркости идеальных диффузных (ламбертовых) поверхностей: яркость таких тел одинакова во всех направлениях, хотя интенсивность света зависит от угла зрения через тот же множитель cos θ.
Световой поток от точечного источника
Световой поток Φ, испускаемый точечным источником, связан с силой света следующим образом:
Φ = ∫I(θ, φ) dΩ
Если сила света одинакова во всех направлениях, т.е. I = const, то полная световая энергия, излучаемая источником, выражается через телесный угол полного пространства 4π стерадиан:
Φ = 4πI
Таким образом, зная силу света точечного изотропного источника, можно сразу вычислить весь испускаемый им световой поток.
Телесный угол и его роль в фотометрии
Телесный угол Ω является трёхмерным аналогом плоского угла. Он измеряется в стерадианах (ср) и описывает, какая часть сферической поверхности «покрывается» направлением света. Это фундаментальное понятие при анализе распределения светового потока в пространстве.
Для малого участка поверхности dS, расположенного на расстоянии r от источника и ориентированного под углом θ к направлению на источник, элементарный телесный угол выражается как:
$$ d\Omega = \frac{dS \cdot \cos\theta}{r^2} $$
Используя это, можно выразить элементарный световой поток:
$$ d\Phi = I \cdot d\Omega = \frac{I \cdot \cos\theta \cdot dS}{r^2} $$
Этот подход лежит в основе интегральных методов фотометрии, применяемых для расчёта освещённости и яркости сложных поверхностей.
Яркость точечного источника
Для точечного источника понятие яркости в строгом смысле неприменимо, поскольку яркость L определяется как сила света, приходящаяся на единичную проекцию площади источника. У точечного источника геометрически нет площади. Тем не менее, в задачах, приближённо моделирующих протяжённые источники как точечные, яркость может быть определена на основе интегрирования по направлению излучения:
$$ L = \frac{dI}{dA \cdot \cos \theta} $$
где dA — элемент площади источника, dI — сила света, приходящаяся на данный элемент в заданном направлении.
В теории используется понятие плотности силы света, связанное с яркостью, при рассмотрении малых участков поверхности.
Поглощение и рассеяние в среде
В реальных условиях распространения света точечного источника в среде, отличной от вакуума, необходимо учитывать экспоненциальное ослабление светового потока. Оно описывается законом Бугера-Ламберта-Бера:
I = I0 ⋅ e−μr
где I0 — начальная сила света, μ — коэффициент ослабления (поглощения и/или рассеяния), r — путь распространения света.
Таким образом, освещённость вдали от источника уменьшается не только по закону обратных квадратов, но и за счёт экспоненциального затухания. Это особенно важно в атмосферной оптике, медицинской фотометрии и при проектировании освещения в водных или запылённых средах.
Суперпозиция световых потоков
Поскольку свет — волновой процесс, при расчётах освещённости от нескольких источников может иметь значение интерференция. Однако в фотометрии обычно предполагается интенсивностный подход — т.е. предполагается, что энергии суммируются:
E = E1 + E2 + … + En
при условии, что источники некогерентны. Это приближение справедливо для большинства практических задач освещения, поскольку в обычных условиях фазы волн случайны.
Фотометрическая эквивалентность источников
Разные источники света могут иметь одинаковую силу света, но различную спектральную характеристику. Поэтому при оценке фотометрических параметров необходимо учитывать спектральную чувствительность человеческого глаза, которая максимальна в зелёной области (λ ≈ 555 нм). Энергетически одинаковые излучения могут быть восприняты как различно яркие. Для этого вводится светоотдача:
Φ = Km ⋅ ∫0∞P(λ) ⋅ V(λ) dλ
где Km — максимальная световая эффективность излучения (≈683 лм/Вт), P(λ) — спектральная плотность мощности, V(λ) — фотопическая кривая видимости.
Это выражение используется при переходе от радиометрических величин к фотометрическим.
Анализ точечного источника в различных системах координат
При расчётах освещённости или распределения светового потока точечные источники удобно анализировать в сферических координатах, где точка наблюдения определяется расстоянием r, углом азимута φ и зенитным углом θ. Это облегчает интегрирование и позволяет выразить освещённость на поверхности, наклонённой под различными углами к направлению распространения света.
Применение фотометрических законов в инженерной практике
Законы фотометрии для точечных источников лежат в основе проектирования освещения помещений, улиц, сцен, автомобильных фар, архитектурных фасадов. Оптимизация размещения источников, их направленности, мощности и спектральных характеристик требует точного применения описанных законов.
При создании компьютерных моделей освещённости, в том числе в CAD-системах и программах для светового дизайна, реализуются численные алгоритмы, основанные на законе обратных квадратов, законе Ламберта и расчёте телесных углов.