В фотометрии под протяжёнными источниками света понимаются такие источники, геометрические размеры которых не могут быть пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до наблюдателя или объекта наблюдения. В отличие от точечных источников, протяжённые источники имеют сложное распределение световой энергии по поверхности, и это необходимо учитывать при вычислении таких величин, как освещённость, яркость, световой поток и сила света.
Яркость (обозначается L) — ключевая фотометрическая величина, используемая для описания светового излучения от протяжённых поверхностей. Она определяется как сила света, излучаемая или проходящая в данном направлении от элементарной площадки источника, отнесённая к проекции этой площадки на плоскость, перпендикулярную к направлению излучения:
$$ L = \frac{dI}{dA \cdot \cos\theta} $$
где:
Яркость измеряется в канделах на квадратный метр (кд/м²) и описывает визуальное восприятие “светимости” поверхности.
Общий световой поток Φ, испускаемый протяжённым источником, вычисляется интегрированием по всей излучающей поверхности и всем направлениям. Для элементарной площадки световой поток определяется выражением:
dΦ = L ⋅ cos θ ⋅ dA ⋅ dω
где dω — элемент телесного угла. При интегрировании по всему полупространству (ω = 2π):
$$ \Phi = \int\limits_A \int\limits_{2\pi} L \cos\theta \, d\omega \, dA $$
Если яркость однородна по всей поверхности и одинакова во всех направлениях (ламбертова поверхность), то:
Φ = πLA
Это фундаментальный результат для Ламбертовых источников, таких как идеально рассеивающие поверхности.
Сила света I в данном направлении от протяжённой поверхности определяется как:
$$ I = \int\limits_A L \cos\theta \, dA $$
Это позволяет связать распределение яркости по поверхности с направленной характеристикой излучения — силой света. При этом важно учитывать как геометрию источника, так и его оптические свойства.
Особый интерес в фотометрии представляют Ламбертовы источники — идеальные диффузные излучатели, у которых яркость одинакова во всех направлениях. Для таких источников сила света по направлению, образующему угол θ с нормалью, пропорциональна cos θ:
I(θ) = I0cos θ
где I0 — сила света в нормальном направлении. Такой источник светит равномерно в полупространство, но при этом визуально выглядит одинаково ярким под любым углом — именно это и делает его моделью «идеальной матовой поверхности».
Для вычисления освещённости E, создаваемой протяжённым источником на некоторой плоскости, необходимо учесть вклад всех элементарных участков источника. Освещённость в точке P определяется как:
$$ E = \int\limits_A \frac{L \cos\theta \cos\theta'}{r^2} \, dA $$
где:
В случае ламбертова источника и при условии, что расстояние до источника достаточно велико (или источник плоский и находится параллельно освещаемой поверхности), формула упрощается.
В отличие от точечных источников, у которых освещённость обратно пропорциональна квадрату расстояния ($E \propto \frac{1}{r^2}$), у протяжённых источников при большом удалении поведение может отличаться. Например, у большого плоского источника, параллельного освещаемой поверхности, освещённость остаётся практически постоянной при увеличении расстояния. Это объясняется тем, что одновременно уменьшается угловой размер источника и падает телесный угол, под которым он виден.
Для оценки вклада каждого участка протяжённого источника важно использовать телесный угол ω, под которым виден участок поверхности из данной точки. Элемент телесного угла выражается как:
$$ d\omega = \frac{\cos\theta \, dA}{r^2} $$
Использование телесного угла позволяет удобно перейти от интегрирования по площади к интегрированию по угловому пространству, особенно при симметричных задачах.
Рассмотрим горизонтальную светящуюся пластину площадью A, излучающую как ламбертов источник. Найдём силу света, излучаемую в вертикальном направлении (перпендикуляр к пластине):
$$ I = \int\limits_A L \cos 0 \, dA = L A $$
А полный световой поток:
Φ = πLA
Это соотношение подчеркивает, что сила света в нормальном направлении отличается от полного светового потока на множитель π.
В реальных условиях большинство источников — протяжённые. Это экраны, светильники, люминесцентные панели, Солнце и т.п. Поэтому для инженерных расчётов и в задачах освещения необходим учёт:
Современные оптические приборы и программы освещённости (например, DIALux) используют численное моделирование интегралов фотометрии протяжённых источников.
В помещениях свет, исходящий от протяжённых источников, многократно отражается от стен, пола, потолка. Поэтому эффективная яркость и освещённость зависят не только от источника, но и от коэффициентов отражения поверхностей. Таким образом, задача освещения — это не только геометрия источника, но и модель распространения света в среде.