Интерференция от двух источников

Принцип суперпозиции волн

Фундаментальным основанием интерференции является принцип суперпозиции. Согласно этому принципу, если в некоторой точке пространства накладываются две или более волны, то результирующее колебание определяется суммой мгновенных значений колебаний всех накладывающихся волн. В случае световых волн это означает сложение их электрических векторов:

E⃗_рез = E⃗₁ + E⃗₂

Если источники когерентны, то такое сложение приводит к устойчивой во времени картине чередующихся максимумов и минимумов интенсивности — интерференционной картине.

Когерентные источники и условия их получения

Для возникновения устойчивой интерференционной картины необходимо, чтобы источники света были когерентными. Это означает, что излучения от обоих источников должны иметь постоянную разность фаз во времени и одинаковую частоту. На практике два независимых источника света (например, две лампы) не являются когерентными, так как фаза их излучения изменяется случайным образом. Поэтому в реальных экспериментах используют разделение волны от одного источника на две части, которые затем вновь сводятся вместе.

Схема двух щелей Юнга

Классический пример интерференции от двух источников — это опыт Юнга. В нём когерентные световые пучки создаются следующим образом: монохроматический источник освещает экран с двумя узкими параллельными щелями S₁ и S₂, расположенными на малом расстоянии друг от друга. За этими щелями на экране наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся светлых и тёмных полос.

Пусть ширина щелей мала по сравнению с длиной волны, и они излучают когерентные волны одинаковой амплитуды E₀. В любой точке наблюдения P, находящейся на экране на расстоянии L от плоскости щелей, интерференция будет определяться разностью хода δ между волнами от S₁ и S₂:

$$ \delta = r_2 - r_1 \approx \frac{d x}{L} $$

где:

• d — расстояние между щелями,
• x — отклонение точки P от центра экрана,
• L — расстояние от щелей до экрана.

Интенсивность интерференционного изображения

Рассмотрим, что обе волны имеют одинаковую амплитуду и частоту, но с некоторой разностью фаз Δϕ = kδ, где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число. Тогда результирующая интенсивность в точке P равна:

$$ I = I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi d x}{\lambda L}\right) $$

где I₀ = 4E₀² — максимум интенсивности при полном совпадении фаз.

Следовательно, наблюдается система поперечных интерференционных полос с максимумами в точках, где:

$$ \delta = m \lambda \quad \Rightarrow \quad x_m = \frac{m \lambda L}{d}, \quad m \in \mathbb{Z} $$

а минимума в точках, где:

$$ \delta = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \Rightarrow \quad x_m = \frac{\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda L}{d} $$

Таким образом, расстояние между соседними максимумами (интерференционная щель) равно:

$$ \Delta x = \frac{\lambda L}{d} $$

Зависимость от длины волны

Интерференционная картина сильно зависит от длины волны света. При использовании белого света наблюдаются цветные интерференционные полосы, так как каждая составляющая спектра создаёт собственную картину с иным шагом. Это приводит к размытию или радужным эффектам. Поэтому для чёткой картины необходимо использовать монохроматический свет.

Влияние разности амплитуд

Если амплитуды волн, приходящих от двух источников, различны: E₁ ≠ E₂, то интерференционная картина сохраняется, но контраст уменьшается. Интенсивность в этом случае выражается как:

I = E₁² + E₂² + 2E₁E₂cos (Δϕ)

Максимальная интенсивность будет:

I_max = (E₁ + E₂)²

а минимальная:

I_min = (E₁ − E₂)²

Контраст (видимость) интерференционной картины определяется величиной:

$$ V = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}} = \frac{2E_1E_2}{E_1^2 + E_2^2} $$

Он достигает максимума при E₁ = E₂ и стремится к нулю при сильном различии амплитуд.

Интерференция в различных средах

Если одна из волн проходит через среду с показателем преломления n, её оптическая длина пути изменяется. Тогда разность хода включает вклад:

$$ \delta = (n - 1) l + \frac{d x}{L} $$

где l — толщина среды. Это позволяет изменять интерференционную картину за счёт введения оптических пластин в путь одного из лучей.

Практические применения

Интерференция от двух источников лежит в основе различных оптических приборов:

• Интерферометры (Маха-Цендера, Майкельсона и др.), используемые в высокоточных измерениях длины, показателя преломления, температуры, давления.
• Оптические сенсоры, основанные на изменении интерференционного узора под действием внешних воздействий.
• Голография, где интерференция используется для записи и восстановления трёхмерного изображения объекта.

Кроме того, явление интерференции от двух когерентных источников лежит в основе фундаментальных представлений о волновой природе света, доказанной исторически именно в опыте Юнга.