Критерий Рэлея

Понятие о разрешающей способности

Разрешающая способность оптической системы характеризует её способность различать две близко расположенные точки объекта. Из-за волновой природы света при прохождении через конечные по размеру отверстия (например, апертуру объектива) происходит дифракция, что приводит к размытию изображения даже идеальной точки — оно превращается в дифракционную картину, называемую диском Эйри. Центр диска соответствует основному максимуму, а окружающие его концентрические кольца — дифракционным минимумам и вторичным максимумам.

Если два объекта находятся слишком близко, их дифракционные картины начинают перекрываться. Вопрос различимости этих объектов и формулируется в терминах критерия Рэлея.

Формулировка критерия Рэлея

Английский физик лорд Рэлей предложил эмпирический критерий, согласно которому две точки считаются разрешёнными, если максимум дифракционной картины одной из них совпадает с первым минимумом дифракционной картины другой.

Это условие можно выразить математически. Пусть свет проходит через круглое отверстие диаметром D, и наблюдается на расстоянии f (фокусное расстояние объектива) от отверстия. Тогда минимальный угол θ_min, под которым две точки ещё различимы, определяется выражением:

$$ \theta_{\text{min}} = 1.22 \frac{\lambda}{D} $$

где:

λ — длина волны света,
D — диаметр апертуры,
коэффициент 1.22 — численный множитель, определяющий положение первого минимума дифракционной картины на круглой апертуре (решение уравнения Бесселя J₁(x) = 0).

Это выражение и есть критерий Рэлея. Он определяет угловую разрешающую способность оптической системы.

Разрешающая способность и числовая апертура

В микроскопии и других приборах с большой апертурой часто используют числовую апертуру NA, определяемую как:

NA = nsin α

где:

n — показатель преломления среды между объективом и объектом (например, масло, вода, воздух),
α — половина угла, под которым объектив «видит» объект.

Для этих случаев линейное разрешение δ можно записать как:

$$ \delta = \frac{0.61 \lambda}{NA} $$

где численный коэффициент 0.61 возникает из той же дифракционной теории, что и 1.22 в угловом выражении.

Физическая интерпретация критерия

Критерий Рэлея связан исключительно с дифракцией и не зависит от качества оптики (наличия аберраций, сферичности линз и т.д.), при условии, что система идеальна. Он устанавливает фундаментальное ограничение, связанное с волновой природой света: никакая система, основанная на сборе света через конечную апертуру, не может обойти это ограничение без дополнительных методов (например, сверхразрешения).

Появление перекрытия дисков Эйри приводит к уменьшению контраста между изображениями двух точек. Если расстояние между максимумами становится меньше, чем угловая величина первого минимума, изображения сливаются. Это приводит к невозможности их различения глазом или датчиком, что делает критерий Рэлея практически значимым.

Применение критерия Рэлея

Астрономия: в телескопах критерием Рэлея определяют, можно ли различить две звезды, находящиеся на малом угловом расстоянии друг от друга. Например, для телескопа с объективом диаметром 200 мм и длиной волны 550 нм:

$$ \theta_{\text{min}} = 1.22 \cdot \frac{550 \cdot 10^{-9}}{0.2} \approx 3.35 \cdot 10^{-6} \text{ рад} \approx 0.69'' $$

Микроскопия: в оптических микроскопах используется аналогичное выражение через числовую апертуру. При λ = 550 нм и NA = 1.4:

$$ \delta = \frac{0.61 \cdot 550 \cdot 10^{-9}}{1.4} \approx 240 \text{ нм} $$

Это означает, что невозможно различить структуры, расстояние между которыми меньше этого значения.

Фотография и техника наблюдения: ограничение по разрешению объектива камеры, особенно при сильных увеличениях, также определяется дифракцией.

Ограничения критерия Рэлея

Хотя критерий Рэлея широко принят, он является эмпирическим и не единственным. Существуют альтернативные подходы к оценке разрешения, например:

Критерий Аббе — использует пространственные частоты и принцип интерференции.
Функция отклика на контраст (MTF) — более современный метод, основанный на анализе модуляционной способности системы.
Критерий Стара — более строгий математический подход, учитывающий форму функции отклика.

Однако критерий Рэлея остаётся удобным и достаточно точным инструментом для оценки дифракционных ограничений.

Влияние длины волны и диаметра апертуры

Из выражения Рэлея видно, что разрешающая способность обратно пропорциональна длине волны и прямо пропорциональна диаметру апертуры. Это даёт два пути к улучшению разрешения:

Увеличение диаметра — используется в телескопах (например, радиотелескопы и оптические обсерватории с зеркалами диаметром до десятков метров).
Использование коротковолнового излучения — в микроскопии (например, использование ультрафиолетового или электронного излучения).

Однако у каждого пути есть технологические и физические ограничения. Например, в электронной микроскопии увеличивается разрешение, но теряется информация о цвете.

Связь с функцией рассеяния точки

Разрешающая способность непосредственно связана с функцией отклика на точечный источник — Point Spread Function (PSF). Эта функция описывает распределение интенсивности света от точки в фокальной плоскости. При дифракции на круглой апертуре PSF соответствует функции Бесселя и формирует диск Эйри. Перекрытие PSF двух точек и лежит в основе критерия Рэлея.

Роль когерентности и интерференции

Критерий Рэлея применяется в случае инкогерентного освещения, когда отсутствует постоянная разность фаз между волнами от различных точек объекта. При когерентном освещении (например, в лазерных системах) интерференция может усиливать или ослаблять перекрытие, и разрешающая способность может отличаться от предсказаний критерия Рэлея.

Сверхразрешение и преодоление предела Рэлея

Современные методы, такие как:

STED-микроскопия (Stimulated Emission Depletion),
PALM (Photoactivated Localization Microscopy),
STORM (Stochastic Optical Reconstruction Microscopy),

позволяют преодолеть предел Рэлея, но они работают за счёт накопления информации, статистики и моделирования. Эти методы не отменяют дифракционные ограничения, а обходят их с использованием новых физических и вычислительных подходов. В классической линейной оптике критерий Рэлея остаётся непревзойдённым ориентиром для оценки разрешающей способности.