Классическая теория Максвелла описывает электромагнитное поле как непрерывное в пространстве и времени распределение векторов электрического поля E и магнитного поля B, подчиняющееся системе уравнений Максвелла. Эта теория успешно объясняет множество оптических явлений, включая распространение света, интерференцию, дифракцию и поляризацию. Однако она не способна объяснить явления, где проявляется корпускулярная природа света: фотоэффект, эффект Комптона, вынужденное и спонтанное излучение, структура спектров атомов.
Для описания таких явлений необходимо использовать квантовое представление электромагнитного поля. Этот переход от классического к квантовому описанию аналогичен квантованию колебаний в механике — переходу от классического гармонического осциллятора к квантовому.
Рассмотрим электромагнитное поле в замкнутом объемном резонаторе, например, прямоугольном ящике со сторонами Lx, Ly, Lz. Решения уравнений Максвелла для такой ограниченной геометрии представляют собой стоячие волны. Каждой моде соответствует определённое распределение полей и дискретное значение частоты:
$$ \omega_{n_x n_y n_z} = c \pi \sqrt{ \left( \frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left( \frac{n_z}{L_z} \right)^2 }, \quad n_i \in \mathbb{N} $$
Каждая мода поля ведёт себя как независимый гармонический осциллятор. Следовательно, квантование электромагнитного поля сводится к квантованию бесконечного набора осцилляторов.
Для упрощения рассмотрим одну моду электромагнитного поля. В классическом приближении она описывается функцией электрического поля:
E(t) = E0cos (ωt + ϕ)
или через обобщённые координаты и импульсы — как гармонический осциллятор. В квантовой теории координаты и импульсы становятся операторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям:
[q̂, p̂] = iℏ
Вместо этого удобно ввести операторы рождения ↠и уничтожения â, определяемые как:
$$ \hat{a} = \sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( \hat{q} + \frac{i}{\omega} \hat{p} \right), \quad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{\omega}{2\hbar}} \left( \hat{q} - \frac{i}{\omega} \hat{p} \right) $$
Коммутационное соотношение между ними:
[â, â†] = 1
Гамильтониан (оператор энергии) одной моды принимает вид:
$$ \hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right) $$
Это указывает на то, что энергия квантуется, и возможные уровни энергии равны:
$$ E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, ... $$
Состояние с числом квантов n называется числовым состоянием или фоковским состоянием |n⟩, и на него действуют операторы:
$$ \hat{a}|n\rangle = \sqrt{n} |n-1\rangle, \quad \hat{a}^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1} |n+1\rangle $$
В квантовой электродинамике поле описывается как совокупность квантов – фотонов. Каждый фотон характеризуется частотой (энергией), направлением распространения и поляризацией. Полное квантовое состояние поля в резонаторе задаётся набором чисел фотонов в каждой моде:
|n1, n2, ..., nj, ...⟩
Такое представление аналогично многочастичной волновой функции в квантовой статистике.
Фотон, как частица, обладает следующими свойствами:
Поскольку фотоны не подчиняются принципу Паули, их статистика — бозонная: разрешено наличие произвольного числа фотонов в одной и той же моде.
Поле представляется как операторное выражение через сумму мод:
$$ \hat{\vec{E}}(\vec{r}, t) = i \sum_{\vec{k}, \lambda} \sqrt{ \frac{\hbar \omega_k}{2 \varepsilon_0 V} } \left[ \hat{a}_{\vec{k}, \lambda} \vec{e}_{\vec{k}, \lambda} e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega_k t)} - \hat{a}^\dagger_{\vec{k}, \lambda} \vec{e}_{\vec{k}, \lambda}^* e^{-i (\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega_k t)} \right] $$
Аналогично для магнитного поля:
$$ \hat{\vec{B}}(\vec{r}, t) = i \sum_{\vec{k}, \lambda} \sqrt{ \frac{\hbar}{2 \varepsilon_0 \omega_k V} } \left[ \hat{a}_{\vec{k}, \lambda} (\vec{k} \times \vec{e}_{\vec{k}, \lambda}) e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega_k t)} - \text{h.c.} \right] $$
Здесь e⃗k⃗, λ — единичные векторы поляризации, λ — поляризационные состояния, V — объем квантования.
Коммутационные соотношения между операторами рождения и уничтожения разных мод:
[âk⃗, λ, âk⃗′, λ′†] = δk⃗, k⃗′δλ, λ′
Вакуумное состояние |0⟩ — это состояние без фотонов, в котором:
âk⃗, λ|0⟩ = 0 для всех k⃗, λ
Даже в этом состоянии поле обладает ненулевой энергией — суммой нулевых колебаний:
$$ E_0 = \sum_{\vec{k}, \lambda} \frac{1}{2} \hbar \omega_k $$
Это приводит к ряду квантовых эффектов:
Квантование поля — основа квантовой теории излучения. Взаимодействие между светом и веществом описывается с использованием операторов поля и операторов вещества (например, операторов атома). Простейшая модель — двухуровневая система (атом) во взаимодействии с одной модой поля, ведущая к модели Джейнеса–Каммингса.
Основные явления, объясняемые с помощью квантования поля:
Особое значение имеют когерентные состояния — состояния, наиболее близкие к классическим волнам:
â|α⟩ = α|α⟩, α ∈ ℂ
В них среднее значение электрического поля не равно нулю, и флуктуации минимальны. Когерентные состояния — модель для лазерного излучения.
Фоковские состояния |n⟩, напротив, представляют квант света с точно определённым числом фотонов, но неопределённой фазой. Эти состояния ключевы для квантовой метрологии и фотонной статистики.
Квантование электромагнитного поля лежит в основе:
Кроме того, оно необходимо при описании процессов в ускорителях частиц, астрофизике, квантовой теории поля и при построении стандартной модели элементарных частиц.