Многолучевая интерференция

Природа многолучевой интерференции

Многолучевая интерференция возникает при наложении большого числа когерентных волн, отражённых или преломлённых в многослойных оптических системах, таких как интерферометры, зеркала с просветляющим или усиливающим покрытием, фотонные кристаллы, решётки и резонаторы. В отличие от двухлучевой интерференции, многолучевая интерференция характеризуется большей резкостью интерференционных максимумов, высокой контрастностью и устойчивостью к изменениям внешних условий.

Механизм многократного отражения или прохождения волн через оптическую систему обусловливает сложную, но предсказуемую структуру интерференционной картины. Главным примером служит интерферометр Фабри–Перо, в котором волна многократно отражается между двумя полупрозрачными зеркалами. При этом наблюдаются резкие пики пропускания, связанные с условием фазового резонанса между многократно прошедшими волнами.

Интерференция в плоскопараллельной пластинке

Рассмотрим тонкую плоскопараллельную пластинку, ограниченную двумя полупрозрачными зеркальными поверхностями. При падении плоской монохроматической волны под углом происходит многократное отражение внутри пластинки. Каждое отражение вносит дополнительный оптический путь и фазовый сдвиг. Если амплитуды волн, проходящих через пластину, сохраняются на значительном уровне (т.е. отражения не слишком ослаблены), возникает устойчивое интерференционное сложение.

Оптическая разность хода между двумя соседними волнами, прошедшими через пластинку, составляет:

Δ = 2ndcos θ,

где n — показатель преломления среды внутри пластинки, d — её толщина, θ — угол преломления внутри.

Для получения интерференционного максимума требуется, чтобы волны складывались в фазе, т.е.:

Δ = mλ, m ∈ ℤ.

Однако, в многолучевой интерференции существенную роль играет не только геометрическая разность хода, но и суммирование бесконечной геометрической прогрессии комплексных амплитуд.

Анализ амплитуд и интенсивности

Обозначим амплитуду падающей волны как A₀. При каждом прохождении через зеркало волна частично отражается (коэффициент отражения r) и частично проходит (коэффициент пропускания t). Амплитуды волн, прошедших через систему после k отражений, будут:

A_k = A₀ ⋅ t² ⋅ r^k − 1e^ikδ,

где δ — фазовый сдвиг, возникающий при каждом полном обходе волны в пластинке:

$$ \delta = \frac{4\pi n d \cos \theta}{\lambda}. $$

Суммарная амплитуда прошедшей волны:

$$ A = A_0 \cdot t^2 \sum_{k=0}^{\infty} r^k e^{i k \delta} = A_0 \cdot t^2 \cdot \frac{1}{1 - r e^{i\delta}}. $$

Интенсивность прошедшего излучения пропорциональна квадрату модуля амплитуды:

$$ I = I_0 \cdot \frac{T^2}{1 + R^2 - 2R \cos \delta}, $$

где T = t², R = r², а I₀ — интенсивность падающей волны.

Кольца Фабри–Перо

При освещении интерферометра Фабри–Перо параллельным пучком света под разными углами возникают круговые интерференционные полосы — кольца Фабри–Перо. Условие максимума переделывается в угловую форму:

2ndcos θ = mλ.

Угловая ширина интерференционного максимума зависит от добротности системы, которая определяется коэффициентом отражения R. Чем ближе R к 1, тем уже максимум и выше разрешающая способность.

Фактор добротности и резонансная характеристика

Для описания резонансных свойств многолучевой интерференционной системы вводится функция передачи, зависящая от фазового сдвига:

$$ I(\delta) = I_0 \cdot \frac{1}{1 + F \sin^2 (\delta / 2)}, $$

где величина

$$ F = \frac{4R}{(1 - R)^2} $$

называется коэффициентом finesse (остроты), а сам интерферометр характеризуется добротностью:

$$ \mathcal{F} = \frac{\pi \sqrt{F}}{2} = \frac{\pi \sqrt{R}}{1 - R}. $$

При больших R значение ℱ велико, что означает узкие резонансные пики и высокое спектральное разрешение. Это используется в спектральных приборах для точного выделения узких полос длин волн.

Применение многолучевой интерференции

Многолучевая интерференция лежит в основе работы многих высокоточных оптических систем:

Интерферометры Фабри–Перо — для измерения малых изменений длины, давления, температуры, индекса преломления;
Просветляющие и усиливающие покрытия — за счёт интерференции усиливают или подавляют отражение в заданных диапазонах длин волн;
Оптические фильтры и резонаторы — формируют спектральные профили с резкими границами;
Фотонные кристаллы — создают запрещённые зоны за счёт многократных отражений в периодической структуре;
Лазерные резонаторы — обеспечивают обратную связь за счёт многократного отражения, при этом стабилизируется длина волны генерации;
Многоуровневые зеркала (Брэгговские отражатели) — работают как резонаторы, отражая волны в узких спектральных диапазонах.

Особенности фазовой чувствительности

Интерференционные максимумы в многолучевой системе очень чувствительны к изменениям фазы. Это делает такие системы особенно эффективными в роли датчиков (сенсоров), способных регистрировать субнанометровые изменения расстояний или колебания оптического пути. Такую чувствительность невозможно достичь в двухлучевых схемах без резкого увеличения базы интерференции.

Математическое описание спектра пропускания

Ширина интерференционного пика по половинной высоте в терминах фазового сдвига:

$$ \Delta\delta = \frac{2\pi}{\mathcal{F}}. $$

Переводя в длины волн:

$$ \Delta\lambda = \frac{\lambda^2}{2nd\mathcal{F}}. $$

Таким образом, разрешающая способность по длине волны:

$$ R = \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = \frac{2nd\mathcal{F}}{\lambda}. $$

Она пропорциональна толщине пластинки и коэффициенту отражения зеркал, что позволяет настраивать спектральные свойства прибора.

Роль многолучевой интерференции в современной оптике

Современные лазеры, интерферометры, спектрометры, фотонные микросхемы и телекоммуникационные устройства опираются на принципы многолучевой интерференции. Эти системы позволяют достигать исключительной точности и управляемости световыми потоками, что делает их фундаментом для оптических измерений, квантовой связи, фотонной обработки сигналов и других технологий.