Нормальная и аномальная дисперсия

Понятие дисперсии света

При прохождении света через вещество скорость его распространения зависит от частоты, что приводит к явлению дисперсии — зависимости показателя преломления среды от длины волны или частоты света. Дисперсия является фундаментальным свойством световых волн в веществе и оказывает решающее влияние на такие явления, как разложение света в спектр, распространение импульсов в оптоволокне, характеристики линз и оптических систем.

Показатель преломления среды, n(ω), зависит от угловой частоты волны ω = 2πf, и поведение этой зависимости делит дисперсию на нормальную и аномальную.

Нормальная дисперсия

В области нормальной дисперсии наблюдается возрастание показателя преломления с увеличением частоты (уменьшением длины волны). Это наиболее привычная ситуация, возникающая вдали от резонансных частот поглощения вещества. При этом справедливо:

$$ \frac{dn}{d\omega} > 0 $$

То есть, чем короче длина волны (например, синий свет по сравнению с красным), тем сильнее преломляется луч.

Пример: прохождение белого света через стеклянную призму приводит к его разложению в спектр. Это возможно благодаря тому, что синий и фиолетовый свет (коротковолновой) имеют больший показатель преломления, чем красный (длинноволновой).

В рамках классической модели Лоренца нормальная дисперсия объясняется как результат взаимодействия электромагнитного поля световой волны с связанными электронными осцилляторами атомов. Вне области резонансов они колеблются с частотами, значительно отличающимися от частоты волны, и потому происходит устойчивое возрастание n(ω) с увеличением ω.

Особенности нормальной дисперсии:

  • наблюдается в «прозрачных» участках спектра (без сильного поглощения);
  • сопровождается малыми потерями энергии;
  • скорость групповой волны превышает фазовую: vg > vp;
  • спектр сигнала в такой среде распространяется устойчиво, без инверсии.

Аномальная дисперсия

Аномальной называется дисперсия, при которой показатель преломления уменьшается с ростом частоты:

$$ \frac{dn}{d\omega} < 0 $$

Это происходит вблизи резонансных частот среды, где наблюдается сильное поглощение света. В этой области колебания электронов в атомах или молекулах находятся в резонансе с частотой световой волны, что существенно меняет их поведение. В результате возникает резкое изменение показателя преломления, причем возможно даже его снижение с ростом частоты.

Математически вблизи резонанса описывается моделью Лоренца, в которой поведение диэлектрической проницаемости ε(ω) зависит от резонансной частоты ω0:

$$ \varepsilon(\omega) = 1 + \sum_j \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega} $$

где fj — осцилляторные силы, γj — коэффициенты затухания. Аномальная дисперсия возникает на участке ω ≈ ω0.

Особенности аномальной дисперсии:

  • сопровождается сильным поглощением;
  • наблюдается в узких спектральных областях (вблизи линий поглощения);
  • возможны эффекты инверсии импульсов, замедления или даже ускорения света;
  • групповая скорость может стать меньше фазовой или даже отрицательной: vg < vp или vg < 0.

Физическая природа перехода от нормальной к аномальной дисперсии

На участке спектра, удалённом от резонансов, электрическое поле световой волны вызывает смещение электронов без значительных потерь, и их движение описывается гармоническим осциллятором без существенного затухания. Однако при приближении частоты света к резонансной частоте возбуждения атома или молекулы происходят следующие процессы:

  1. Резкое изменение поляризуемости среды.
  2. Поглощение энергии света — фотоны передают энергию электронным оболочкам.
  3. Нестабильность фазы отклика: фаза колебаний смещается относительно возбуждающей волны.

Эти эффекты приводят к нарушению обычной зависимости n(ω), формируя участок аномальной дисперсии.

Групповая и фазовая скорость при дисперсии

Фазовая скорость определяется как:

$$ v_p = \frac{\omega}{k} $$

Групповая скорость:

$$ v_g = \frac{d\omega}{dk} $$

или, выражая через показатель преломления:

$$ v_g = c \left[ n(\omega) + \omega \frac{dn}{d\omega} \right]^{-1} $$

Таким образом, знак производной $\frac{dn}{d\omega}$ влияет на величину групповой скорости. В области нормальной дисперсии групповые волны распространяются быстрее, чем в области аномальной. При этом возможны даже парадоксальные случаи, когда групповая скорость становится больше скорости света в вакууме — это не нарушает причинности, так как перенос информации ограничен фронтом волны.

Экспериментальные проявления дисперсии

  1. Призма Ньютона. Разложение белого света на спектр демонстрирует нормальную дисперсию стекла.
  2. Спектральные линии поглощения. Аномальная дисперсия проявляется как резкое изменение преломления вблизи линий, например, в парах натрия.
  3. Интерферометрические методы. Изменение оптической длины пути при разных длинах волн позволяет измерить n(λ).
  4. Оптоволокно. В телекоммуникациях учет дисперсии критичен: нормальная дисперсия может привести к сжатию импульсов, а аномальная — к их растяжению и искажению.

Примеры материалов с различной дисперсией

  • Стекло (BK-7, кварц): демонстрирует нормальную дисперсию в видимом диапазоне.
  • Газообразные среды (водяной пар, йод, пары натрия): аномальная дисперсия наблюдается вблизи спектральных линий.
  • Органические красители (например, родамин): используются в лазерах благодаря резкому изменению показателя преломления вблизи резонансов.

Уравнение Крамерса-Кронига

Фундаментальная связь между дисперсией и поглощением описывается интегральными соотношениями Крамерса–Кронига:

$$ \text{Re}[n(\omega)] = 1 + \frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\text{Im}[n(\omega')]}{\omega' - \omega} d\omega' $$

где ???? — обозначение главного значения интеграла.

Это означает, что знание спектра поглощения позволяет полностью определить поведение дисперсии, и наоборот. Таким образом, нормальная и аномальная дисперсия — два неразрывных аспекта взаимодействия света с веществом.

Оглавление