Геометрия отражения света на границе двух сред
Когда световая волна падает на границу между двумя различными средами, часть её энергии отражается обратно в первую среду, а часть может пройти во вторую, преломившись. Отражение света подчиняется строгим законам, которые вытекают из принципа Ферма и условий граничных соответствий для электромагнитных полей. Рассмотрим отражение в рамках геометрической и волновой оптики.
Закон отражения
Пусть свет падает на границу раздела двух оптически однородных сред. Угол между падающим лучом и нормалью к границе называется углом падения (θ₁), угол между отражённым лучом и той же нормалью — углом отражения (θᵣ).
Закон отражения:
Этот закон является следствием симметрии условий распространения волн и может быть выведен из принципа наименьшего времени (принцип Ферма).
Механизм отражения с точки зрения волновой оптики
Для электромагнитной волны, распространяющейся в диэлектрической среде, отражение происходит в результате наложения граничных условий на компоненты электрического и магнитного полей на поверхности раздела. Рассмотрим падающую плоскую волну:
Пусть плоская монохроматическая волна с электрическим полем Eᵢ = E₀ᵢ · exp[i(k·r - ωt)] падает на плоскую границу между двумя диэлектриками. Отражённая волна имеет форму Eᵣ = E₀ᵣ · exp[i(kᵣ·r - ωt)].
Величина и направление отражения зависят от:
Поляризация и коэффициенты отражения (формулы Френеля)
Рассмотрим два случая: s-поляризация (электрическое поле перпендикулярно плоскости падения) и p-поляризация (электрическое поле лежит в плоскости падения).
Пусть n₁ — показатель преломления первой среды, n₂ — второй, θ₁ — угол падения, θ₂ — угол преломления, определяемый законом Снеллиуса:
n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂
Формулы Френеля для амплитудных коэффициентов отражения:
s-поляризация (⊥):
$$ r_s = \frac{n_1 \cos \theta_1 - n_2 \cos \theta_2}{n_1 \cos \theta_1 + n_2 \cos \theta_2} $$
p-поляризация (∥):
$$ r_p = \frac{n_2 \cos \theta_1 - n_1 \cos \theta_2}{n_2 \cos \theta_1 + n_1 \cos \theta_2} $$
Модули квадратов этих величин дают коэффициенты отражения по интенсивности:
Rs = |rs|2, Rp = |rp|2
Коэффициенты отражения демонстрируют различное поведение при изменении угла падения, особенно вблизи угла Брюстера.
Угол Брюстера
Для p-поляризованной волны существует такой угол падения, при котором отражённая волна полностью исчезает — отражение становится равным нулю. Этот угол называется углом Брюстера (θ_B):
$$ \tan \theta_B = \frac{n_2}{n_1} $$
При падении под углом Брюстера отражённая и преломлённая волны становятся взаимно перпендикулярными. Это явление широко используется для получения линейно поляризованного света.
Полное внутреннее отражение
Если свет распространяется из оптически более плотной среды (n₁ > n₂) и угол падения превышает некоторый критический угол θ_с, то волна не проникает во вторую среду, а полностью отражается. Этот эффект называется полным внутренним отражением (ПВО).
Критический угол определяется из условия:
$$ \sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}, \quad \text{где } n_1 > n_2 $$
Для θ₁ > θ_с угол преломления становится мнимым, и вторая среда не пропускает волну. Тем не менее, вблизи границы возникает затухающая (эвенесцентная) волна, экспоненциально убывающая вглубь второй среды.
Это явление лежит в основе работы волоконной оптики, датчиков на основе поверхностных волн, интерферометров и других устройств.
Когерентное и некогерентное отражение
При рассмотрении отражения от неровной или многослойной поверхности важно учитывать когерентность волны:
Когерентное отражение наблюдается при гладкой поверхности, на которой фазы отражённых волн сохраняют определённое соотношение. Это обеспечивает интерференционные эффекты (например, в антибликовых покрытиях).
Некогерентное отражение характерно для шероховатых поверхностей, где фазы волн случайны, и отражение становится диффузным.
Многослойные среды и интерференция отражений
Если граница представляет собой не одну поверхность, а набор тонких слоёв с различными показателями преломления, отражённые волны от каждой границы могут интерферировать. При определённых условиях возникает усиление или подавление отражения.
Пример — антиотражающие покрытия, где толщина слоя выбирается так, чтобы отражённые от верхней и нижней границ волны приходили в противофазе:
2ndcos θ = (m + 1/2)λ, m ∈ ℤ
Здесь d — толщина покрытия, λ — длина волны в вакууме, n — показатель преломления слоя.
Комплексный коэффициент отражения и фаза отражения
Отражённая волна в общем случае отличается не только по амплитуде, но и по фазе. Амплитудный коэффициент отражения r — это комплексная величина, включающая фазовый сдвиг. Это особенно важно при анализе интерференции и резонансных явлений.
Фазовый сдвиг отражения особенно заметен при отражении от оптически более плотной среды. Например, при нормальном падении света от воздуха к стеклу возникает фазовый сдвиг на π (обращение фазы на 180°).
Отражение в металлах и проводящих средах
В отличие от диэлектриков, металлы характеризуются комплексным показателем преломления:
ñ = n + iκ
где κ — коэффициент поглощения, характеризующий экспоненциальное затухание волны в металле. При этом отражение становится практически полным, особенно в оптическом диапазоне.
Коэффициент отражения для нормального падения:
$$ R = \left| \frac{n - 1 + i\kappa}{n + 1 + i\kappa} \right|^2 $$
Для большинства металлов в видимом диапазоне R ≈ 0.9…0.99, что делает их хорошими зеркалами. Однако наличие комплексной части в показателе преломления приводит к фазовому сдвигу, зависящему от длины волны.
Угловая и спектральная зависимость отражения
Отражение сильно зависит от угла падения и длины волны. Эта зависимость лежит в основе явлений:
Применения отражения в оптике
Отражение в условиях пространственной неоднородности
Если параметры среды (например, показатель преломления) меняются плавно вдоль направления распространения волны, то отражение может быть подавлено или усилено в зависимости от градиента и длины взаимодействия. Такой случай описывается в рамках градиентной оптики и важен в проектировании волноводов и лазеров.