Свет — это электромагнитная волна, распространяющаяся со скоростью, зависящей от свойств среды. Основными характеристиками, описывающими взаимодействие света с веществом, являются показатель преломления и диэлектрическая проницаемость. Эти величины отражают способность среды влиять на скорость, фазу и интенсивность распространения электромагнитных волн.
Показатель преломления n среды определяется как отношение скорости света в вакууме c к фазовой скорости света в данной среде v:
$$ n = \frac{c}{v} $$
Поскольку скорость света в материале всегда меньше, чем в вакууме, то n ≥ 1. В простейшем случае для прозрачных диэлектриков показатель преломления — это вещественная величина, зависящая от длины волны. Однако для более сложного описания используется комплексный показатель преломления:
ñ = n + iκ
где κ — коэффициент экстинкции, отражающий степень поглощения волны при прохождении через материал. Он определяет экспоненциальное затухание амплитуды при распространении волны внутри среды:
$$ E(z) = E_0 e^{i k z} = E_0 e^{i n \frac{\omega}{c} z} e^{- \kappa \frac{\omega}{c} z} $$
Таким образом, вещественная часть n отвечает за изменение фазы, а мнимая κ — за ослабление волны.
Диэлектрическая проницаемость ε характеризует реакцию среды на внешнее электрическое поле. Она отражает степень поляризации вещества под действием поля. В общем случае также является комплексной величиной:
ε̃ = ε′ + iε″
где:
Для изотропной, немагнитной среды, где магнитная проницаемость μ ≈ 1, существует простая связь между диэлектрической проницаемостью и показателем преломления:
ñ2 = ε̃
Разложив обе стороны:
(n + iκ)2 = ε′ + iε″
Получаем:
n2 − κ2 = ε′, 2nκ = ε″
Эти соотношения позволяют определить оптические параметры материала через его электрические свойства и наоборот. Так, измеряя спектр поглощения и преломления, можно восстановить частотную зависимость ε(ω), и тем самым — физические процессы, происходящие в веществе на микроуровне.
Показатель преломления зависит от частоты излучения: это явление называется дисперсией. В простейшем случае для прозрачных веществ она описывается законом Коши:
$$ n(\lambda) = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \dots $$
Однако вблизи резонансных частот, например, около полос поглощения, необходимо использовать дисперсионную модель Лоренца или модель плазмы:
$$ \varepsilon(\omega) = 1 + \sum_j \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2 - i\gamma_j \omega} $$
где fj — осцилляторные силы, ω0j — собственные частоты, γj — коэффициенты затухания.
При таком подходе видно, что вблизи резонанса диэлектрическая проницаемость сильно изменяется, и, соответственно, n(ω) приобретает как бы “аномальное” поведение (например, уменьшается с увеличением частоты, что противоречит интуитивным ожиданиям).
В полосах поглощения мнимая часть диэлектрической проницаемости ε″ становится значительной, отражая энергетические потери света в веществе. В этой области возникает аномальная дисперсия, когда производная $\frac{dn}{d\omega} < 0$. Это поведение обусловлено резонансными взаимодействиями между светом и электронами вещества.
Такие эффекты критически важны при проектировании оптических фильтров, усилителей и лазерных систем. Знание полной частотной зависимости ñ(ω) или ε̃(ω) необходимо при расчётах распространения света в средах с поглощением, а также в задачах нелинейной оптики.
Вопросы скорости передачи сигнала связаны не с фазовой, а с групповой скоростью:
$$ v_g = \frac{d\omega}{dk} $$
Соответственно, вводится групповой показатель преломления:
$$ n_g = \frac{c}{v_g} = n + \omega \frac{dn}{d\omega} $$
В области нормальной дисперсии ($\frac{dn}{d\omega} > 0$) ng > n, а в области аномальной — наоборот. Понимание поведения группового показателя преломления критично для анализа скорости передачи оптических сигналов в волокнах, для расчёта временных задержек и искажений импульсов.
Поглощение энергии электромагнитной волной в веществе связано с мнимой частью диэлектрической проницаемости. Плотность мощности, рассеиваемой в единице объёма, даётся выражением:
$$ P = \frac{1}{2} \omega \varepsilon_0 \varepsilon'' |E|^2 $$
Это уравнение играет ключевую роль при расчётах теплоотдачи, при проектировании фототермальных устройств и при анализе взаимодействия высокочастотного излучения с плазмой.
В сильных полях (например, в лазерных) поведение вещества может становиться нелинейным, и диэлектрическая проницаемость уже зависит от амплитуды поля:
ε = ε(1) + ε(2)E + ε(3)E2 + …
Это приводит к появлению новых частот (вторичная гармоника, суммарные и разностные частоты) и к эффектам типа самофокусировки, самомодуляции и др. Для таких задач показатель преломления также становится полем-зависимым:
n = n0 + n2I
где I — интенсивность, n2 — нелинейный коэффициент преломления. Эти эффекты составляют основу нелинейной оптики, применяемой, например, в генераторах гармоник, усилителях и солитонных системах.
Реальная и мнимая части диэлектрической проницаемости не являются независимыми. Их связь обусловлена принципом причинности. Эта связь выражается через соотношения Крамерса–Кронига:
$$ \varepsilon'(\omega) = 1 + \frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_0^\infty \frac{\omega' \varepsilon''(\omega')}{\omega'^2 - \omega^2} d\omega' $$
$$ \varepsilon''(\omega) = - \frac{2\omega}{\pi} \mathcal{P} \int_0^\infty \frac{\varepsilon'(\omega') - 1}{\omega'^2 - \omega^2} d\omega' $$
где ???? — знак главного значения интеграла. Эти интегральные соотношения являются основой анализа экспериментальных спектров, а также используются при построении модельных представлений о поведении оптических констант.
Показатель преломления определяет угол преломления света при прохождении границы двух сред, согласно закону Снеллиуса:
n1sin θ1 = n2sin θ2
В случае пространственной неоднородности n = n(r), траектория луча подчиняется уравнениям геометрической оптики, вытекающим из принципа Ферма. В таких условиях возникают явления линзирования, фокусировки, градиентного преломления.
Оптические материалы классифицируются по значению n и κ. Например:
Понимание зависимости этих параметров от длины волны, температуры и структуры материала лежит в основе инженерии современных оптических систем — от телекоммуникаций до фотонных чипов.