Принцип Ферма, или принцип наименьшего времени, является фундаментальным законом геометрической оптики. Он утверждает, что путь, по которому распространяется свет между двумя точками, есть тот, на прохождение которого свету требуется наименьшее (или, в более общем случае, стационарное) время.
Ферма сформулировал этот принцип в XVII веке, что стало важным шагом в развитии оптики. Он позволил объяснить поведение света при отражении и преломлении, а также стал основой для вариационного подхода в физике, послужив прообразом принципа наименьшего действия.
Пусть свет распространяется из точки A в точку B, проходя через однородную или неоднородную среду. Времени, затраченного на прохождение пути L, соответствует интеграл:
$$ T = \int_L \frac{ds}{v(s)} = \int_L \frac{n(s)}{c} ds, $$
где:
Принцип Ферма утверждает, что реальный путь — это такой путь, для которого время T стационарно, т.е. его вариация δT = 0. Это может быть минимум, максимум или седловая точка, но чаще всего — минимум.
Для демонстрации работы принципа Ферма рассмотрим отражение света от зеркальной поверхности.
Пусть точка A и точка B находятся по одну сторону от зеркала. Требуется найти точку отражения P на поверхности, такую, чтобы путь A → P → B занял наименьшее время.
Поскольку отражение происходит в одной среде, скорость света постоянна. Следовательно, путь будет минимальным по длине. Используя геометрическое построение с симметрией: отражённую точку B′, симметричную точке B относительно зеркала, и соединяя её с A, можно доказать, что угол падения равен углу отражения. Это и есть закон отражения, выведенный из принципа Ферма.
Рассмотрим границу раздела двух прозрачных сред с различными показателями преломления n1 и n2. Пусть свет идёт из точки A в среде с n1, преломляется в точке P на границе и далее идёт в точку B в среде с n2.
Путь A → P → B должен соответствовать наименьшему времени прохождения:
$$ T = \frac{AP}{v_1} + \frac{PB}{v_2} = \frac{n_1}{c} \cdot AP + \frac{n_2}{c} \cdot PB. $$
Минимизируя этот путь с помощью дифференциального исчисления, получаем:
n1sin i = n2sin r,
где i — угол падения, r — угол преломления. Это и есть закон Снеллиуса, полученный как следствие принципа Ферма.
Важно подчеркнуть, что принцип Ферма говорит не только о наименьшем времени, но в общем случае — о стационарности времени. Это означает, что малое изменение пути не изменяет время прохождения на первом порядке. В некоторых случаях (например, в случае фокусировки лучей линзой) свет может идти не по кратчайшему, но по стационарному пути.
Если показатель преломления среды n постоянен, то минимизация времени совпадает с минимизацией длины пути, так как:
$$ T = \frac{n}{c} L. $$
В этом случае лучи света — это геодезические линии, т.е. прямые линии в евклидовом пространстве. Но если среда неоднородна (например, показатель преломления зависит от координат), световой луч изгибается, следуя изменяющемуся n(x, y, z), а путь, по которому он идёт, определяется из уравнений Эйлера–Лагранжа, вытекающих из вариационного принципа.
В неоднородных средах (например, атмосфере) показатель преломления изменяется с высотой. Это приводит к искривлению световых лучей. Классическим примером является мираж, где горячий воздух над нагретой поверхностью земли имеет меньший показатель преломления, чем воздух выше. В результате луч изгибается вверх, а наблюдатель воспринимает отражённое изображение, как будто от зеркальной поверхности.
Применение принципа Ферма к такой ситуации требует учета зависимости n(y), где y — вертикальная координата. Использование вариационного исчисления приводит к дифференциальным уравнениям, определяющим форму траектории луча.
Принцип Ферма можно рассматривать как частный случай принципа наименьшего действия, лежащего в основе всей классической механики и оптики. В этом смысле оптика соединяется с лагранжевой и гамильтоновой формализмами.
Лагранжиан оптической системы определяется как:
$$ L = \frac{n(x, y, z)}{c} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2}. $$
Уравнения, описывающие распространение света в такой системе, соответствуют уравнениям движения, вытекающим из вариационного принципа.
Принцип Ферма делает возможным построение оптических систем с управляемыми свойствами. Например, линзы и зеркала могут быть спроектированы таким образом, чтобы свет от одного источника проходил строго определённым образом к нужной точке. Это используется в оптических приборах, телескопах, микроскопах, камерах, лазерных системах и даже в архитектурной акустике (по аналогии со звуком).
Хотя принцип Ферма формулируется в рамках геометрической оптики, он тесно связан с квантовой механикой. В интерпретации Фейнмана (интеграл по траекториям), квантовая частица “пробует” все возможные пути между двумя точками, и наиболее вероятные — это как раз те, где фаза (аналог времени) стационарна. В этом смысле принцип Ферма является оптическим предшественником более общего принципа суперпозиции амплитуд в квантовой теории.
В волновой оптике этот принцип соответствует принципу Гюйгенса–Френеля, где каждый элемент фронта волны становится источником вторичных волн, а направление распространения определяется интерференцией — что в пределе больших частот даёт те же пути, что и принцип Ферма.
Понимание принципа Ферма позволяет:
Принцип Ферма — один из самых универсальных в физике, поскольку он демонстрирует, как простое варьирование времени пути приводит к строгим законам отражения, преломления и распространения света.