Постановка задачи распространения света
Рассмотрим задачу о распространении волны от заданного источника в однородной среде. В рамках волновой теории света ключевой задачей является определение амплитуды и фазы световой волны в произвольной точке пространства, если известны условия на некоторой поверхности, ограждающей источник. Решение этой задачи основывается на принципе Гюйгенса-Френеля, который представляет собой развитие идей волнового фронта и интерференции вторичных волн.
Принцип Гюйгенса
Классическая формулировка принципа Гюйгенса заключается в следующем: каждая точка волнового фронта может рассматриваться как источник вторичных сферических волн, и огибающая этих волн в последующий момент времени определяет новое положение волнового фронта.
Однако этот принцип, сформулированный Христианом Гюйгенсом в XVII веке, не объяснял, каким образом происходит взаимное усиление или ослабление волн. Для этого необходимо было учесть интерференцию вторичных волн. Это было сделано Огюстеном Френелем, который совместил принцип Гюйгенса с интерференционной моделью, создав более точную и физически состоятельную теорию.
Принцип Гюйгенса-Френеля
Современная формулировка принципа Гюйгенса-Френеля звучит следующим образом:
Световая волна, распространяясь в однородной среде, может быть представлена как суперпозиция вторичных волн, испускаемых каждым элементом волнового фронта. Амплитуда результирующей волны в заданной точке пространства определяется интерференцией всех этих вторичных волн, причем каждая волна должна быть взята с определённым весовым коэффициентом, учитывающим фазовые сдвиги и амплитудные изменения.
Математическая формулировка
Для количественного описания принципа Гюйгенса-Френеля применяется интегральное представление поля. Пусть световая волна известна на некоторой поверхности S, окружающей источник. Тогда амплитуда волны U(P) в точке наблюдения P определяется интегралом:
U(P) = ∬SU(Q) ⋅ K(P, Q) dS,
где Q — точка на поверхности S, K(P, Q) — функция, описывающая вклад вторичной волны из точки Q в точку P, а dS — элемент площади поверхности.
Обычно используется приближённая форма, называемая интегралом Кирхгофа-Френеля. При определённых условиях для амплитуды можно записать:
$$ U(P) = \frac{A}{i\lambda} \iint_S \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta \, dS, $$
где:
Зона Френеля
Для оценки вклада различных участков волнового фронта в результирующее поле в точке наблюдения вводится понятие зон Френеля. Пространство вокруг точки наблюдения делится на концентрические кольцевые зоны (в случае сферического фронта — сферические слои), так, что путь волны от каждого кольца отличается от соседнего на половину длины волны.
Если амплитуды волн от всех зон сложить векториально, с учётом их фаз, то оказывается, что наибольший вклад в результирующее поле даёт первая зона, тогда как вклады последующих зон постепенно ослабляют и гасят первую. Это объясняет, почему апертуры и экраны могут блокировать свет, даже если лишь частично перекрывают волновой фронт.
Пояснение к механизму дифракции
Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, когда световая волна сталкивается с препятствием или проходит через узкую щель, каждая точка края щели становится источником вторичной волны. Именно интерференция этих вторичных волн создаёт наблюдаемые дифракционные картины — например, чередование светлых и тёмных полос при дифракции Фраунгофера или концентрические кольца при дифракции Френеля.
Таким образом, дифракция — это естественное следствие интерференции вторичных волн, возникающих в соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля.
Пояснение через волновой фронт
Пусть фронт плоской волны падает на узкую щель. До щели фронт является прямой линией (в двумерной модели). За щелью, согласно Гюйгенсу, каждая точка отверстия излучает волны, которые начинают распространяться в разные стороны. За счёт интерференции этих волн наблюдатель в дальней зоне будет фиксировать максимум и минимум интенсивности в зависимости от направления, так как разность хода волн от разных точек щели изменяется с направлением наблюдения.
Учет угловых факторов и коэффициента обструкции
В формализме Френеля вводится угловой коэффициент, известный как коэффициент Френеля, который учитывает:
В итоговом выражении на интеграл Френеля это влияет через множитель cos θ, а также через возможный фазовый множитель eiϕ.
Ограничения принципа
Следует понимать, что принцип Гюйгенса-Френеля — приближённый. Он работает хорошо в рамках скалярной теории света, то есть без учёта поляризации и в предположении, что среда изотропна и линейна. Для описания полного электромагнитного поля необходимо использовать уравнения Максвелла и векторную дифракционную теорию.
Значение принципа в физической оптике
Принцип Гюйгенса-Френеля является краеугольным камнем волновой оптики. На его основе объясняются:
Именно этот принцип позволяет количественно предсказать распределение амплитуды и интенсивности света в любой области пространства, где известны граничные условия. Он также даёт возможность вычислять световые картины при прохождении света через дифракционные решётки, щели, отверстия, тонкие пленки и другие оптические элементы.