Рассеяние Ми

Физическая природа рассеяния Ми

Рассеяние Ми (иногда также именуемое рассеянием Мие) представляет собой теоретически строгое решение задачи рассеяния электромагнитной волны на сферической частице конечного размера, сопоставимого с длиной волны света. Оно обобщает и включает в себя как предельный случай рассеяние Рэлея (для очень малых частиц), так и геометрическую оптику (для частиц значительно больше длины волны). Теория рассеяния Ми имеет фундаментальное значение в понимании распространения света в турбулентных и неоднородных средах, таких как атмосфера, аэрозоли, водные растворы и биологические ткани.

Диапазон применимости и основные параметры

Теория Ми применима для однородных сферических частиц произвольного размера, в том числе для частиц, диаметр которых находится в диапазоне от значений, меньших длины волны (λ), до значений, существенно превышающих λ. Ключевым параметром, определяющим режим рассеяния, является размерный параметр:

$$ x = \frac{2\pi r}{\lambda} $$

где r — радиус частицы, λ — длина волны падающего света в окружающей среде.

Величина x ≪ 1 соответствует рассеянию Рэлея, x ∼ 1 — рассеянию Ми в полном смысле, а x ≫ 1 — приближению геометрической оптики. Также критически важен показатель преломления частицы $m = \frac{n_p}{n_s}$, где np — показатель преломления частицы, ns — среды.

Формализм решения Ми

Полное решение задачи получено Густавом Ми в начале XX века и основано на разложении электромагнитного поля в сферические векторные гармоники. Суммарное рассеянное поле представляется в виде ряда от бесконечного числа мультипольных компонент:

$$ S(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n + 1}{n(n+1)} \left( a_n \pi_n(\cos \theta) + b_n \tau_n(\cos \theta) \right) $$

где θ — угол рассеяния, an и bn — коэффициенты Ми, зависящие от x и m, πn, τn — угловые функции, построенные на базе функций Лежандра.

Коэффициенты an и bn вычисляются по формулам, включающим сферические функции Бесселя и их производные:

$$ a_n = \frac{m \psi_n(mx)\psi_n'(x) - \psi_n(x)\psi_n'(mx)}{m \psi_n(mx)\xi_n'(x) - \xi_n(x)\psi_n'(mx)} \quad ; \quad b_n = \frac{\psi_n(mx)\psi_n'(x) - m \psi_n(x)\psi_n'(mx)}{\psi_n(mx)\xi_n'(x) - m \xi_n(x)\psi_n'(mx)} $$

где ψn — модифицированные сферические функции Бесселя первого рода, ξn — функции Ханкеля.

Спектральные и угловые характеристики рассеяния

В теории Ми определяются различные интегральные и дифференциальные характеристики:

  • Сигма рассеяния:

$$ \sigma_{\text{sca}} = \frac{2\pi}{k^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)\left( |a_n|^2 + |b_n|^2 \right) $$

  • Сигма поглощения:

$$ \sigma_{\text{abs}} = \frac{2\pi}{k^2} \sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)\left[ \Re(a_n + b_n) - \left( |a_n|^2 + |b_n|^2 \right) \right] $$

  • Сигма экстинкции:

σext = σsca + σabs

  • Фазовая функция:

Определяет вероятность рассеяния в направлении θ, нормируется на единичный интеграл по сфере. Фазовая функция в рассеянии Ми может иметь выраженную асимметрию и сложную многомодовую структуру, особенно при больших значениях x.

Асимметрия рассеяния

С увеличением размерного параметра рассеяние становится всё более направленным: основная часть энергии рассеивается под малыми углами, т.е. вперёд. Это явление количественно характеризуется асимметрией рассеяния:

g = ⟨cos θ⟩ = ∫0πcos θ ⋅ P(θ) ⋅ sin θ dθ

Значение g ≈ 0 соответствует симметричному (изотропному) рассеянию (как у Рэлея), а g → 1 — сильному предпочтению прямого направления (рассеяние вперёд).

Интерференционные и резонансные эффекты

В решении Ми проявляются резонансные явления, обусловленные возбуждением внутренних мод — мультипольных колебаний внутри сферической частицы. Они проявляются как пики в спектре рассеяния при определённых соотношениях x и m. При определённых условиях возможны также эффекты деструктивной интерференции, приводящие к угасанию рассеяния в конкретных направлениях (анализируется через нули фазовой функции).

Поляризация рассеянного света

В зависимости от угла наблюдения и параметров рассеяния изменяется не только интенсивность, но и поляризационные свойства рассеянного света. Даже если исходное излучение было неполяризованным, рассеяние приводит к возникновению частичной поляризации. Степень и характер поляризации зависят от угла θ, размерного параметра и показателя преломления.

Применения теории Ми

  • Атмосферная оптика: объяснение белого цвета облаков (множество капель воды с x ∼ 10), анализ аэрозольных систем, расчёты рассеяния в загрязнённой атмосфере.

  • Оптические сенсоры и диагностические системы: в том числе в биомедицине для анализа клеток и тканей на основе распределения рассеяния.

  • Фотометрия и астрономия: описание рассеяния света в кометах, планетных атмосферах, в межзвёздной пыли.

  • Коллоидная химия: определение размеров частиц по спектру рассеяния.

Особенности и ограничения модели

  • Идеализированность: частица строго сферическая, однородная, без поглощения среды.
  • Невозможность описания множества частиц и коллективных эффектов (в этом случае требуется метод многократного рассеяния).
  • Чувствительность к поглощению: при наличии воображаемой части показателя преломления спектральная картина существенно модифицируется.

Численные аспекты расчётов

Реализация формул Ми в численных кодах требует высокой точности вычисления сферических функций Бесселя и их производных. На практике используется конечное число членов в ряду, обычно nmax ≈ x + 4x1/3 + 2. Для визуализации спектров и угловых зависимостей широко применяются компьютерные программы (например, MiePlot, SCATMECH, MATLAB-библиотеки).

Связь с другими режимами рассеяния

  • При x ≪ 1: теория сводится к классическому рассеянию Рэлея, где интенсивность обратно пропорциональна четвёртой степени длины волны.
  • При x ≫ 1: поведение рассеяния приближается к законам геометрической оптики, включая отражение и преломление, с добавлением дифракционных эффектов.

Таким образом, рассеяние Ми занимает центральное место в оптике рассеяния, обеспечивая строгую и универсальную основу для описания взаимодействия света с частицами произвольного размера в широком диапазоне условий.

Оглавление