Сферические зеркала

Классификация сферических зеркал

Сферические зеркала представляют собой отражающие поверхности, форма которых соответствует части сферы. Они подразделяются на два типа:

• Вогнутые зеркала — внутренняя отражающая поверхность сегмента сферы.
• Выпуклые зеркала — отражающая поверхность обращена наружу сферы.

Основное отличие между ними заключается в направлении изгиба отражающей поверхности и, следовательно, в характере формирования изображения.

Геометрические элементы сферического зеркала

Для анализа хода лучей и построения изображений необходимо оперировать рядом геометрических понятий:

• Оптический центр (O) — геометрический центр зеркальной сферы.
• Полюс зеркала (P) — центр сферической поверхности, находящейся на оси зеркала.
• Главная оптическая ось — прямая, проходящая через полюс и центр сферы.
• Фокус (F) — точка, в которой пересекаются или из которой расходятся параксиальные лучи после отражения. Для вогнутого зеркала фокус — действительный, а для выпуклого — мнимый.
• Фокусное расстояние (f) — расстояние от полюса до фокуса: $f = \frac{R}{2}$ где R — радиус кривизны зеркала.

Закон отражения для сферических зеркал

Каждый луч, падающий на зеркало, отражается в соответствии с законом отражения: угол падения равен углу отражения. Однако, из-за кривизны поверхности, направление нормали к поверхности меняется от точки к точке. Это обуславливает сложность точного трассирования лучей и приводит к сферической аберрации.

Для приближённого построения изображений применяют параксиальные приближения, при которых лучи идут близко к главной оптической оси и под малыми углами.

Формула зеркала

Связь между расстоянием до предмета d, расстоянием до изображения d′ и фокусным расстоянием f выражается зеркальной формулой:

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'} $$

При этом используются следующие правила знаков:

• Для вогнутого зеркала: f > 0, предмет перед зеркалом d > 0, изображение действительное — d′ > 0; изображение мнимое — d′ < 0.

• Для выпуклого зеркала: f < 0, предмет перед зеркалом d > 0, изображение всегда мнимое — d′ < 0.

Увеличение изображения

Линейное увеличение γ определяется отношением высоты изображения к высоте предмета:

$$ \gamma = \frac{h'}{h} = -\frac{d'}{d} $$

Знак «минус» в формуле указывает на инверсию изображения (перевёрнутое изображение).

Построение изображений

Для построения изображений в сферических зеркалах используется три характерных луча:

1. Луч, параллельный главной оптической оси, после отражения проходит через фокус (в вогнутом) или кажется исходящим из фокуса (в выпуклом).
2. Луч, проходящий через фокус, после отражения идёт параллельно главной оси.
3. Луч, падающий на полюс зеркала, отражается по закону отражения (угол падения равен углу отражения).

Пересечение отражённых лучей или их продолжений определяет положение изображения.

Характер изображений в вогнутом зеркале

• Предмет вне двойного фокуса ( d > 2f ): изображение — действительное, уменьшенное, перевёрнутое, расположено между фокусом и двойным фокусом.
• Предмет в двойном фокусе ( d = 2f ): изображение — действительное, равное по размеру предмету, перевёрнутое, в двойном фокусе.
• Предмет между фокусом и двойным фокусом ( f < d < 2f ): изображение — действительное, увеличенное, перевёрнутое, за пределами двойного фокуса.
• Предмет в фокусе ( d = f ): отражённые лучи идут параллельно — изображение не формируется.
• Предмет между фокусом и зеркалом ( d < f ): изображение — мнимое, увеличенное, прямое, за зеркалом.

Характер изображений в выпуклом зеркале

Независимо от положения предмета:

• Изображение всегда мнимое, уменьшенное, прямое и находится за зеркалом. Это делает выпуклые зеркала удобными для наблюдения широких областей, например, в автомобильных зеркалах заднего вида.

Сферическая аберрация

Сферическая аберрация возникает из-за того, что лучи, отстоящие от главной оптической оси, после отражения не пересекаются в одной точке с параксиальными лучами. Это приводит к размытому изображению. Снижение аберрации достигается ограничением апертуры или использованием параболических зеркал для точной фокусировки.

Применения сферических зеркал

• Вогнутые зеркала применяются в рефлекторах телескопов, фарах автомобилей, прожекторах, солнечных печах.
• Выпуклые зеркала используются в системах наблюдения, безопасности, а также в транспорте.

Преимущества и недостатки

• Вогнутые зеркала позволяют формировать реальные изображения и собирать свет, но чувствительны к аберрациям.
• Выпуклые зеркала дают широкий обзор, устойчивы к аберрациям, но не способны дать действительное изображение.

Сравнение с линзами

Сферические зеркала, в отличие от линз, не страдают от хроматической аберрации, поскольку отражение не зависит от длины волны. Это делает зеркала предпочтительными в астрономической оптике и точной оптической технике.

Физическая модель зеркала

Формально отражение света от сферического зеркала можно описать с помощью векторной геометрии и уравнений сферической поверхности. При расчётах учитываются законы геометрической оптики и волновой теории, особенно при анализе дифракции и аберраций.

Сферические зеркала в оптических системах

Сферические зеркала могут быть как одиночными элементами, так и составными частями сложных оптических систем. В системах, требующих высокой точности, часто применяются комбинации зеркал и линз для коррекции аберраций и увеличения светосилы.