Толстые линзы и их кардинальные элементы

Понятие о толстых линзах

В отличие от тонких линз, у которых расстояние между поверхностями можно пренебречь, толстые линзы имеют конечную, иногда значительную толщину, которую необходимо учитывать при анализе их оптических свойств. Толстая линза — это оптическое тело, ограниченное двумя преломляющими сферическими (иногда асферическими) поверхностями, расстояние между вершинами которых сравнимо с радиусами кривизны этих поверхностей.

Такие линзы не подчиняются в полной мере приближённым формулам тонких линз. Для их описания используется система кардинальных элементов, позволяющая свести сложную преломляющую систему к эквивалентной тонкой линзе, расположенной в определённой системе координат.

Формирование изображений в толстых линзах

Толстая линза преломляет свет дважды: при входе в первую поверхность и при выходе из второй. Между этими событиями происходит перемещение лучей внутри линзы, где они отклоняются в зависимости от формы и материала линзы. Для точного построения изображений необходимо учитывать:

  • радиусы кривизны передней и задней поверхности;
  • толщину линзы вдоль её оптической оси;
  • показатель преломления материала линзы относительно окружающей среды.

Изображение, формируемое толстой линзой, подчиняется обобщённым законам геометрической оптики, включая принцип обратимости световых лучей, и может быть построено с использованием кардинальных точек и плоскостей.

Кардинальные элементы: определение и физический смысл

Кардинальные элементы системы позволяют упростить построение и анализ изображений, создаваемых оптической системой. Для толстых линз выделяют шесть кардинальных элементов:

  1. Главные фокусы (F₁ и F₂) — точки, в которых пересекаются лучи, исходящие из бесконечности параллельно оптической оси (или наоборот, уходящие в бесконечность после прохождения через линзу).

  2. Фокусные расстояния (f₁ и f₂) — расстояния от главных фокусов до соответствующих главных плоскостей. Они могут быть разными в зависимости от среды с каждой стороны линзы.

  3. Главные плоскости (H₁ и H₂) — плоскости, к которым можно свести действия линзы как к действию тонкой линзы. Если луч направлен на главную плоскость, то после преломления в линзе он продолжает своё движение так, как если бы он был преломлён в этой плоскости. Расстояния от главных плоскостей до оптического центра могут быть ненулевыми.

  4. Входной и выходной узловые точки (N₁ и N₂) — точки, через которые проходят продолжения лучей, направленных на линзу под малым углом к оптической оси. При переходе через узловую точку угол наклона луча сохраняется. В случае, если окружающая среда одинакова с обеих сторон линзы, узловые точки совпадают с главными точками.

Расположение кардинальных точек в системе

Положение кардинальных элементов рассчитывается с использованием формул, основанных на геометрических параметрах линзы:

  • Радиусы кривизны R1 и R2
  • Толщина линзы d
  • Показатель преломления линзы n

Для определения положения главных плоскостей в системе координат используется следующее:

$$ H_1 = \frac{n \cdot d \cdot R_2}{(n - 1)(R_2 - R_1)} \quad , \quad H_2 = \frac{n \cdot d \cdot R_1}{(n - 1)(R_2 - R_1)} $$

Главные фокусные расстояния:

$$ f' = \left[ \frac{(n - 1)}{n} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n - 1)d}{n R_1 R_2} \right) \right]^{-1} $$

Эти формулы являются приближёнными и точны в пределах параксиального приближения, то есть для малых углов между лучами и оптической осью.

Построение изображений с использованием кардинальных элементов

Поскольку оптические свойства толстых линз описываются кардинальными элементами, построение изображения производится следующим образом:

  1. От объекта проводят луч, параллельный оптической оси, — он после прохождения через линзу пройдёт через задний фокус F₂.
  2. Луч, проходящий через передний фокус F₁, после преломления идёт параллельно оси.
  3. Пересечение этих лучей даёт положение изображения.
  4. Все расстояния измеряются от главных плоскостей, а не от вершин линзы, как в случае тонкой линзы.

Таким образом, главные плоскости становятся виртуальными границами, относительно которых можно применять формулы тонких линз.

Роль показателя преломления и толщины линзы

Показатель преломления линзы влияет на её преломляющую силу. Чем выше n, тем сильнее линза изменяет направление световых лучей. При этом с увеличением толщины линзы возрастает отклонение лучей внутри материала, особенно при малых радиусах кривизны, что также сказывается на расстояниях между кардинальными точками и на характере изображения.

Увеличение толщины приводит к значительному смещению главных плоскостей внутрь линзы и искажению простых зависимостей, присущих тонким линзам.

Объединение толстых линз в сложные системы

При соединении нескольких толстых линз необходимо учитывать кардинальные элементы каждой из них. Их совокупное действие описывается через методы последовательного переноса координат и эквивалентных фокусных расстояний. Применяется формализм матриц переноса (ABCД-матрицы), широко используемый в геометрической и гауссовой оптике.

Особое внимание уделяется:

  • переносу фокусов;
  • смещению главных плоскостей;
  • изменению узловых точек;
  • возможному появлению хроматических и сферических аберраций.

Практическое значение и применение

Понимание природы толстых линз критично для проектирования объективов фото- и видеотехники, микроскопов, телескопов, а также медицинских оптических приборов. Во всех случаях точность изображения зависит от правильного учёта геометрии линзы и соответствующего применения кардинальных элементов при расчётах.

Особенно важно учитывать особенности толстых линз в системах с высоким разрешением, где даже незначительное отклонение в построении фокусных плоскостей может привести к деградации изображения или искажению его масштаба.

Оглавление