Тонкие линзы

Тонкой линзой называется такая линза, толщина которой по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей и с расстоянием от предмета или изображения до линзы пренебрежимо мала. Это допущение позволяет значительно упростить теоретическое описание оптических свойств линз, сосредоточив все преломления света в одной плоскости — в так называемой оптической плоскости.

Классификация тонких линз

Согласно геометрии поверхности, линзы делятся на две основные группы:

• Собирающие линзы — имеют форму выпуклого стекла (толще посередине, чем по краям). Основные типы:

  • двояковыпуклая,
  • плоско-выпуклая,
  • вогнуто-выпуклая (если преломляющий материал имеет больший показатель преломления, чем окружающая среда).

• Рассеивающие линзы — тоньше в центре, чем по краям. Основные типы:

  • двояковогнутая,
  • плоско-вогнутая,
  • выпукло-вогнутая (при соответствующем соотношении показателей преломления).

Формально, линза считается собирающей, если параллельный пучок света, падающий на линзу, после прохождения через неё собирается в фокусе; и рассеивающей — если лучи после прохождения расходятся, как будто выходят из фокуса.

Оптическая сила линзы

Оптическая сила линзы D определяется как величина, обратная её фокусному расстоянию:

$$ D = \frac{1}{F} $$

где F — фокусное расстояние линзы в метрах, D — в диоптриях (дптр).

Оптическая сила положительна у собирающих линз и отрицательна у рассеивающих. Суммарная оптическая сила системы тонких линз, расположенных на общей оптической оси на пренебрежимо малом расстоянии, равна алгебраической сумме их оптических сил:

D_сист = D₁ + D₂ + … + D_n

Фокус линзы и главная оптическая ось

Главной оптической осью называется прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы (или, в случае плоской грани, через центр этой поверхности). Фокусами называют такие точки на главной оси, через которые проходят преломлённые (или продолженные назад) лучи, изначально параллельные главной оптической оси. У тонкой линзы существуют два фокуса:

• Передний фокус — точка, из которой выходят лучи, ставшие параллельными после прохождения через линзу (для рассеивающей линзы).
• Задний фокус — точка, в которую собираются лучи, параллельные главной оси, после прохождения через линзу (для собирающей линзы).

Для тонкой линзы оба фокуса расположены на одинаковом расстоянии от её оптического центра.

Формула тонкой линзы

Основное уравнение, описывающее соотношение между расстоянием от предмета до линзы d, расстоянием от изображения до линзы f, и фокусным расстоянием линзы F, записывается в виде:

$$ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $$

Принятые знаки:

• Расстояния измеряются от оптического центра линзы.
• Расстояние считается положительным, если направление от линзы совпадает с направлением падающего (для d) или преломлённого (для f) луча.
• Фокусное расстояние F положительно для собирающей линзы, отрицательно — для рассеивающей.

Построение изображения в тонкой линзе

Для определения положения изображения предмета, создаваемого тонкой линзой, применяются графические методы, основанные на построении характерных лучей:

1. Параллельный луч, идущий параллельно главной оптической оси, после линзы проходит через задний фокус (или, для рассеивающей линзы, выходит так, будто идёт из переднего фокуса).
2. Фокальный луч, направленный к переднему фокусу (или из заднего фокуса), после линзы становится параллельным главной оси.
3. Центральный луч, проходящий через оптический центр линзы, не изменяет направления.

Точка пересечения преломлённых лучей (или их продолжений) определяет положение изображения.

Характеристики изображения

Изображение, создаваемое линзой, может быть:

• Действительным — если лучи действительно пересекаются (изображение можно проецировать на экран).
• Мнимым — если лучи только кажутся исходящими из одной точки (невозможно получить на экране).
• Прямым — если изображение имеет такое же направление, как предмет.
• Перевёрнутым — если направление противоположно.
• Увеличенным, уменьшенным или равным по размеру в зависимости от расстояний до линзы.

Коэффициент увеличения Γ определяется отношением высоты изображения h′ к высоте предмета h:

$$ \Gamma = \frac{h'}{h} = \frac{f}{d} $$

Знак увеличения показывает ориентацию изображения: положительное значение соответствует прямому изображению, отрицательное — перевёрнутому.

Вывод формулы тонкой линзы

Рассмотрим луч, идущий от предметной точки A на расстоянии d от оптического центра линзы. Пусть линза собирающая с фокусным расстоянием F. Построим лучи:

• Луч, идущий параллельно оси, после линзы пройдёт через фокус.
• Луч, проходящий через центр, не изменит направление.

Из подобия треугольников можно получить:

$$ \frac{h'}{h} = \frac{f}{d} $$

и, совместно с геометрическими соотношениями, выводится формула тонкой линзы.

Формула тонкой линзы через показатели преломления

Если линза изготовлена из материала с показателем преломления n, окружена средой с показателем n₀, а радиусы кривизны её поверхностей равны R₁ и R₂, то её фокусное расстояние можно выразить через геометрические параметры по формуле:

$$ \frac{1}{F} = \left( \frac{n}{n_0} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) $$

где:

• R₁ — радиус передней поверхности (положителен, если центр кривизны справа от поверхности),
• R₂ — радиус задней поверхности (положителен, если центр кривизны справа),
• знаки выбираются по правилу: выпуклая поверхность имеет положительный радиус, вогнутая — отрицательный.

Эта формула позволяет точно рассчитать оптическую силу реальной тонкой линзы.

Изображения, даваемые линзой, в зависимости от положения предмета

Для собирающей линзы возможны следующие случаи:

• Предмет вне двойного фокуса (d > 2F): изображение — действительное, уменьшенное, перевёрнутое, расположено между фокусом и двойным фокусом.
• Предмет в двойном фокусе (d = 2F): изображение — действительное, равное по размеру, перевёрнутое, на расстоянии 2F.
• Предмет между фокусом и двойным фокусом (F < d < 2F): изображение — действительное, увеличенное, перевёрнутое.
• Предмет в фокусе (d = F): изображение в бесконечности.
• Предмет ближе фокуса (d < F): изображение — мнимое, увеличенное, прямое.

Для рассеивающей линзы при любом положении предмета:

• изображение — мнимое, уменьшенное, прямое, расположено ближе к линзе, чем предмет.

Применение тонких линз

Тонкие линзы широко используются в оптических приборах:

• В микроскопах — для увеличения мелких объектов.
• В телескопах — для наблюдения удалённых тел.
• В фото- и видеокамерах — для фокусировки изображения.
• В очках и линзах — для коррекции дефектов зрения.
• В лупах — для увеличения изображений при рассматривании.

Знание тонких линз и умение строить изображения имеет фундаментальное значение в геометрической оптике.