Когерентность — фундаментальное свойство волнового излучения, определяющее степень согласованности колебаний электромагнитного поля в различных точках пространства и в различные моменты времени. В оптике когерентность играет ключевую роль при интерференции, дифракции, голографии, квантовой оптике и лазерных технологиях.
Существуют два взаимодополняющих типа когерентности: временная и пространственная. Первая описывает согласованность фаз колебаний во времени, вторая — согласованность между колебаниями в различных точках фронта волны.
Временная когерентность характеризует способность волны интерферировать сама с собой при временном сдвиге. Это свойство особенно важно для интерференции волн, прошедших через разные пути с различной длиной, например в интерферометрах Майкельсона или Фабри-Перо.
Пусть волна характеризуется спектральной шириной Δν, тогда длина когерентности Lc приближённо оценивается как:
$$ L_c = \frac{c}{\Delta \nu} $$
где c — скорость света в вакууме. Чем уже спектр (меньше Δν), тем больше длина когерентности, т.е. волна остаётся когерентной на большем интервале.
Для лазера с шириной спектра порядка 103 Гц длина когерентности может достигать сотен километров. Напротив, для ламп накаливания (Δν ∼ 1013 Гц) длина когерентности не превышает нескольких микрометров.
Соответствующее время когерентности:
$$ \tau_c = \frac{1}{\Delta \nu} $$
Это максимальное временное смещение, при котором сохраняется интерференционная способность волны. Если два колебания сдвинуты по времени больше, чем τc, их интерференция исчезает.
Функционально, временная когерентность описывается автокорреляционной функцией поля:
$$ \gamma(\tau) = \frac{\langle E(t)E^*(t+\tau) \rangle}{\langle |E(t)|^2 \rangle} $$
Связь между автокорреляцией и спектром задаётся теоремой Винера–Хинчина. Чем шире спектр, тем быстрее убывает автокорреляция и меньше когерентное время.
Пространственная когерентность описывает согласованность фаз колебаний в различных точках поперечного сечения волнового фронта. Она определяет, насколько хорошо распределённая по пространству волна способна давать интерференционную картину.
В идеале, если в любой паре точек поперечного фронта разность фаз постоянна, волна является полностью пространственно когерентной.
Для плоской волны, излучённой протяжённым источником, поперечная длина когерентности rc оценивается как:
$$ r_c = \frac{\lambda R}{a} $$
где:
Эта формула вытекает из соображений интерференции волн от разных частей источника. Чем меньше размер источника или больше расстояние, тем выше пространственная когерентность.
Точное описание пространственной когерентности формализовано через теорему Ван Циттерта – Цернике, которая утверждает, что:
Функция взаимной когерентности в плоскости наблюдения равна преобразованию Фурье распределения интенсивности источника.
Это позволяет предсказывать пространственную когерентность из формы источника и даёт математическое основание для использования голографии и интерферометрии в астрономии.
Интерференция наблюдается только при наличии когерентности. Для получения стабильной интерференционной картины требуется высокая степень когерентности, как временной, так и пространственной. Например, в опыте Юнга с двумя щелями:
При недостатке когерентности происходит усреднение по фазам, и интерференционная картина исчезает.
Количественной мерой когерентности служит функция степени когерентности:
$$ \mu_{12} = \frac{\langle E_1 E_2^* \rangle}{\sqrt{\langle |E_1|^2 \rangle \langle |E_2|^2 \rangle}} $$
где E1 и E2 — значения поля в двух точках или в два разных момента времени. Значение |μ12| лежит в пределах от 0 (полная некогерентность) до 1 (полная когерентность).
Степень когерентности определяет контрастность интерференционной картины, измеряемую как:
$$ V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = |\mu_{12}| $$
| Тип источника | Временная когерентность | Пространственная когерентность |
|---|---|---|
| Лампа накаливания | Очень малая | Очень малая |
| Газоразрядная лампа | Средняя | Средняя |
| Светодиод | Средняя–низкая | Средняя |
| Лазер | Очень высокая | Очень высокая |
Лазеры, благодаря малой спектральной ширине и компактному поперечному излучению, обладают высочайшей когерентностью, что делает их идеальными источниками для точных оптических измерений, интерферометрии, голографии и квантовой оптики.
В современной квантовой оптике когерентность описывается не только классическими автокорреляциями, но и с помощью функций когерентности Глазера:
g(1)(τ), g(2)(τ), …
Классическая когерентность соответствует g(1), а корреляции второго порядка g(2) характеризуют, например, наличие фотонных bunching-эффектов и квантовой статистики излучения. Лазерное излучение демонстрирует g(2)(0) = 1, в отличие от теплового света с g(2)(0) = 2, что отражает различие в квантовых свойствах.
Ни один источник света не обладает идеальной когерентностью. Даже у лазеров существует линейное уширение, вызванное фазовыми шумами. В практических задачах важно учитывать:
Контроль когерентности становится ключевым элементом в оптических измерениях, квантовых коммуникациях, высокоточной спектроскопии и волоконной оптике.