Закон Кирхгофа

Формулировка и физическая сущность закона Кирхгофа

Закон Кирхгофа в оптике формулируется следующим образом: отношение между испускательной способностью тела и его поглощательной способностью при данной температуре и на данной длине волны является одинаковым для всех тел и равно испускательной способности абсолютно чёрного тела при этой температуре и длине волны.

Математически:

$$ \frac{\varepsilon_\lambda(T)}{a_\lambda(T)} = E_\lambda^{(ч)}(T) $$

где:

  • ελ(T) — спектральная испускательная способность тела при температуре T;
  • aλ(T) — спектральная поглощательная способность тела (альбедо в спектральной области);
  • Eλ(ч)(T) — спектральная испускательная способность абсолютно чёрного тела при той же температуре и длине волны λ.

Это фундаментальное соотношение означает, что тело, хорошо поглощающее излучение при определённой длине волны, будет столь же эффективно его излучать при тех же условиях. Именно благодаря этому принципу возможно определение температуры объектов по их излучению (основа пирометрии) и построение теоретических моделей теплового равновесия.

Абсолютно чёрное тело и его роль в законе Кирхгофа

Абсолютно чёрное тело — это идеализированный физический объект, который поглощает всё падающее на него излучение независимо от длины волны и направления. Его спектральная поглощательная способность:

aλ(ч)(T) = 1

Соответственно, его спектральная испускательная способность максимальна для данной длины волны и температуры. Это делает абсолютно чёрное тело эталоном для всех реальных тел, чьи испускательные способности можно выразить как:

ελ(T) = aλ(T) ⋅ Eλ(ч)(T)

Таким образом, зная поглощательную способность тела и спектр излучения абсолютно чёрного тела, можно вычислить его реальное излучение.

Вывод закона Кирхгофа на основе принципа детального равновесия

Рассмотрим замкнутую полость с идеально отражающими стенками, внутри которой находятся тела при одинаковой температуре T. Пусть в полости установилось термодинамическое равновесие. Излучение в этой полости будет иметь определённый спектральный состав, зависящий только от температуры и длины волны — это равновесное излучение.

Если бы два тела внутри полости имели различные отношения ελ/aλ, то это привело бы к нетепловому обмену энергией, нарушающему второе начало термодинамики. Таким образом, это отношение должно быть одинаковым для всех тел и равно испускательной способности чёрного тела:

$$ \frac{\varepsilon_\lambda^{(1)}}{a_\lambda^{(1)}} = \frac{\varepsilon_\lambda^{(2)}}{a_\lambda^{(2)}} = E_\lambda^{(ч)}(T) $$

Спектральная и интегральная формы закона

Закон Кирхгофа справедлив как в спектральной форме — для заданной длины волны, так и в интегральной форме — для всего диапазона длин волн. В интегральной форме:

$$ \frac{\varepsilon(T)}{a(T)} = E^{(ч)}(T) $$

где ε(T) и a(T) — интегральные (по всему спектру) испускательная и поглощательная способности тела.

Физические следствия закона Кирхгофа

  1. Совпадение максимумов поглощения и испускания. Если вещество имеет резонансные полосы поглощения на определённых длинах волн (например, в ИК-области), то его собственное излучение также будет максимально в этих диапазонах.

  2. Термодинамическое обоснование спектров теплового излучения. Закон Кирхгофа позволяет перейти от измерений поглощения к прогнозу излучения и наоборот.

  3. Обоснование роли абсолютно чёрного тела в квантовой теории излучения. Именно стремление описать Eλ(ч)(T) привело Планка к выводу его формулы и введению кванта действия h.

  4. Принцип обратимости: тело, хорошо поглощающее в определённом диапазоне, будет хорошо излучать в том же диапазоне. Это лежит в основе технологии терморегуляции, излучающих поверхностей, а также маскировки в ИК-диапазоне.

Практическое применение закона Кирхгофа

  • Астрофизика. Из анализа спектров поглощения и испускания звёзд определяется их состав, температура и плотность.

  • Пирометрия. Измерение температуры тел на расстоянии основано на анализе их собственного излучения, с учётом эмиссионной способности материала.

  • Физика атмосферы и климатология. Поглощение и испускание инфракрасного излучения различными газами (например, CO2, H2O, CH4) оказывает влияние на парниковый эффект.

  • Теплофизика и техника. Материалы с высокой поглощательной способностью используются в нагревателях, солнечных коллекторах; наоборот, для тепловой защиты применяются покрытия с низкой испускательной способностью.

Отличие излучательных и поглощательных характеристик реальных тел

Реальные тела далеко не всегда ведут себя как абсолютно чёрные. Для их характеристики вводится величина эмиссионной способности (eλ):

$$ e_\lambda = \frac{\varepsilon_\lambda(T)}{E_\lambda^{(ч)}(T)} = a_\lambda(T) $$

Если eλ < 1, тело называют серым телом, если eλ = const для всех λ; если же eλ существенно зависит от длины волны, тело называют избирательно излучающим.

Таким образом, закон Кирхгофа устанавливает фундаментальную связь между двумя ключевыми характеристиками материи: её способностью поглощать и испускать излучение, и тем самым закладывает основу для дальнейшего развития тепловой и квантовой оптики.

Оглавление