Закон Стефана-Больцмана
Закон Стефана-Больцмана устанавливает количественную связь между полной мощностью излучения абсолютно чёрного тела и его термодинамической температурой. Этот фундаментальный закон теплового излучения был первоначально установлен экспериментально Йозефом Стефаном в 1879 году и теоретически выведен Людвигом Больцманом в 1884 году на основе термодинамики и электродинамики.
Математическая формулировка закона
Полная энергетическая светимость абсолютно чёрного тела, то есть энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности по всем направлениям и во всём спектральном диапазоне, пропорциональна четвёртой степени его абсолютной температуры:
R = σT4
где:
σ = 5, 670374419 ⋅ 10−8 Вт/(м2 ⋅ К4)
Этот закон применим исключительно к абсолютно чёрному телу. Для реальных тел вводится понятие степени чёрноты (или эмиссивности) ε, значение которой находится в диапазоне от 0 до 1:
R = εσT4
Физический смысл и экспериментальная проверка
Закон Стефана-Больцмана позволяет количественно описывать теплообмен за счёт излучения. Поверхность Солнца, будучи близкой по характеристикам к абсолютно чёрному телу, испускает мощное электромагнитное излучение, интенсивность которого точно описывается этим законом. Именно через него впервые была вычислена температура солнечной фотосферы.
Применение закона
Закон смещения Вина
Закон смещения Вина устанавливает зависимость длины волны, соответствующей максимуму спектральной плотности излучения абсолютно чёрного тела, от его температуры. Этот закон эмпирически вывел Вильгельм Вин в 1893 году на основе термодинамических соображений и позднее он был подтверждён выводом из распределения Планка.
Математическая формулировка
λmaxT = b
где:
b = 2, 897771955 ⋅ 10−3 м ⋅ К
Этот закон показывает, что при повышении температуры максимум спектра сдвигается в сторону меньших длин волн — в область более высокой энергии.
Примеры применения
Спектральное распределение и связь с законом Стефана-Больцмана
Оба закона — Стефана-Больцмана и смещения Вина — являются частными следствиями более общего закона Планка, который описывает форму спектра абсолютно чёрного тела. Закон Вина описывает положение пика функции Планка, а закон Стефана-Больцмана — интеграл по всему спектру, то есть полную мощность излучения.
Влияние закона Вина на оптические наблюдения
Закон смещения Вина позволяет понять, почему объекты с разной температурой воспринимаются нами разного цвета. Это лежит в основе цветовой температуры световых источников. Например, тёплое белое освещение (3000 К) ближе к жёлто-красному диапазону, а холодное белое (6500 К) — к синему.
Вывод закона Вина из уравнения Планка
Максимум функции спектральной плотности энергии излучения можно найти из условия:
$$ \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{2hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1} \right) = 0 $$
Решение этого уравнения даёт значение λmax, которое и подчиняется закону Вина.
Сравнительная характеристика законов
| Характеристика | Закон Стефана-Больцмана | Закон смещения Вина |
|---|---|---|
| Описывает | Полную мощность излучения | Положение максимума спектра |
| Зависимость | R ∼ T4 | $\lambda_{\text{max}} \sim \frac{1}{T}$ |
| Тип излучения | Интегральное по всем длинам волн | Спектральное |
| Используемая константа | σ | b |
| Связь с законом Планка | Интеграл спектра | Положение максимума спектра |
Практические аспекты применения в оптике
Оба закона играют ключевую роль в оптических методах измерения температуры — в пирометрии. Пирометры, основанные на анализе спектра теплового излучения, используют закон Вина для оценки температуры по длине волны максимума, а закон Стефана-Больцмана — для определения мощности излучения.
Кроме того, они применяются в лазерной термографии, астрономических наблюдениях, моделировании излучения звёзд и планет, а также при разработке систем терморегулирования в вакууме и космосе.