Искривление пространства-времени

Искривление пространства-времени является ключевым понятием общей теории относительности. В отличие от ньютоновской механики, где гравитация рассматривается как сила, действующая на расстоянии, в релятивистской физике гравитационное взаимодействие объясняется как следствие деформации самой структуры пространства-времени под воздействием масс и энергий.

Пространство-время описывается четырёхмерной метрикой g_μν, которая задаёт геометрию и расстояния между событиями. В отсутствии масс и энергии пространство-время плоское, и его метрика сводится к метрике Минковского:

ds² = −c²dt² + dx² + dy² + dz²

Однако наличие массы и энергии изменяет метрику, создавая кривизну. Эта кривизна описывается с помощью тензора кривизны Римана R_σμν^ρ и связанных с ним величин — тензора Риччи R_μν и скалярной кривизны R.

Уравнения Эйнштейна

Основным математическим инструментом для описания искривления пространства-времени являются уравнения Эйнштейна:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

Здесь:

R_μν — тензор Риччи, характеризующий локальную кривизну;
R — скалярная кривизна;
T_μν — тензор энергии-импульса, описывающий распределение масс и энергий;
G — гравитационная постоянная;
c — скорость света.

Эти уравнения показывают, что кривизна пространства-времени прямо связана с материей и энергией. В отсутствие массы (T_μν = 0) уравнения сводятся к уравнениям для вакуума:

R_μν = 0

Геодезические линии и движение тел

Тела в искривлённом пространстве-времени движутся по геодезическим линиям — кривым, которые локально минимизируют интервал между событиями. Уравнение геодезической линии имеет вид:

$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d\tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0 $$

где Γ_μν^λ — символы Кристоффеля, задающие соединение в кривом пространстве.

Геодезические линии описывают как движение световых сигналов (нулевой интервал, ds² = 0), так и движение массивных тел (временной интервал, ds² < 0). Вблизи массивных объектов геодезические линии искривляются, что проявляется в наблюдаемых эффектах: отклонении света, прецессии орбит, гравитационном замедлении времени.

Метрики и решения уравнений Эйнштейна

Для различных физических систем уравнения Эйнштейна имеют конкретные решения:

Метрика Шварцшильда — описывает статическое сферически симметричное поле вокруг точечной массы:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$

Эта метрика лежит в основе теории черных дыр и расчёта прецессии перигелия планет.

Метрика Керра — учитывает вращение центрального объекта, приводит к эффекту “притяжения инерции” (frame dragging).
Метрика Фридмана-Лемaitre-Робертсона-Уокера (FLRW) — применяется для описания однородной и изотропной Вселенной, лежит в основе космологии.

Эффекты искривления пространства-времени

Искривление пространства-времени приводит к нескольким фундаментальным эффектам:

Гравитационное замедление времени: часы вблизи массивных объектов идут медленнее по сравнению с удалёнными наблюдателями.
Отклонение света: фотон, проходя около массивного тела, отклоняется, что наблюдается в экспериментах по гравитационному линзированию.
Прецессия орбит: орбиты планет вокруг массивных звезд смещаются, как показано на примере Меркурия.
Чёрные дыры и горизонты событий: критические радиусы, при которых пространство-время искривляется настолько, что ни материя, ни свет не могут покинуть область.

Тензорная структура кривизны

Ключевым понятием в описании геометрии является тензор Римана R_σμν^ρ, определяющий, насколько параллельный перенос векторного поля зависит от пути. Его компоненты вычисляются через символы Кристоффеля:

R_σμν^ρ = ∂_μΓ_νσ^ρ − ∂_νΓ_μσ^ρ + Γ_μλ^ρΓ_νσ^λ − Γ_νλ^ρΓ_μσ^λ

Тензор Риччи, являясь сокращением тензора Римана R_μν = R_μλν^λ, используется непосредственно в уравнениях Эйнштейна для связи кривизны с массой и энергией.