Алгоритмы восстановления фазы

В исследованиях с использованием синхротронного излучения часто возникает задача восстановления фазы волнового поля, исходя из измеряемой интенсивности. Поскольку детекторы регистрируют только интенсивность, а не фазу, требуется применение специальных алгоритмических методов, обеспечивающих реконструкцию комплексного волнового фронта. Эта задача критически важна для дифракционных экспериментов, рентгеновской микроскопии и фазово-контрастной визуализации материалов.

Основные принципы восстановления фазы

Рассмотрим волновое поле Ψ(r) = A(r)eiϕ(r), где A(r) — амплитуда, а ϕ(r) — фаза. При детектировании регистрируется интенсивность I(r) = |Ψ(r)|2 = A2(r), что приводит к потере информации о фазе. Задача восстановления фазы формулируется как поиск функции ϕ(r), совместимой с наблюдаемой интенсивностью и физическими ограничениями объекта и системы.

Существует два фундаментальных подхода:

  1. Прямое восстановление фазы на основе аналитических методов.
  2. Итеративные численные алгоритмы, использующие известные пространственные или спектральные ограничения.

Прямые методы восстановления фазы

К прямым методам относятся аналитические и преобразовательные подходы, которые позволяют получить фазу без многократных итераций.

  • Метод транспортиуемой интенсивности (TIE, Transport of Intensity Equation) Основывается на уравнении переноса интенсивности:

    $$ \frac{\partial I(x,y,z)}{\partial z} = -\frac{\lambda}{2\pi} \nabla_\perp \cdot [I(x,y,z) \nabla_\perp \phi(x,y,z)], $$

    где ∇⟂ — градиент в плоскости детектора, λ — длина волны. Решение этого уравнения позволяет получить плоскую фазу при малых приращениях вдоль направления распространения волны. Метод эффективен для слаборассеивающих объектов и фазово-прозрачных материалов.

  • Методы на основе Фурье-преобразований В дифракционных экспериментах широко используется анализ амплитуды и фазы в пространстве Фурье. Применяются аппроксимации типа weak phase object или projection approximation, которые позволяют линейно связать фазу с измеренной интенсивностью в далёкой зоне.

Прямые методы обладают высокой скоростью и стабильностью, но ограничены условиями применимости: слабое рассеяние, малый угол рассеяния, отсутствие сильных неоднородностей.

Итеративные методы восстановления фазы

Итеративные алгоритмы являются универсальными инструментами и позволяют работать с широким классом объектов и экспериментальных схем.

Ключевые принципы итеративных алгоритмов:

  1. Начальная аппроксимация фазы ϕ0(r) (часто нулевая или случайная).
  2. Прямое преобразование в пространство наблюдения (обычно Фурье-преобразование).
  3. Замена амплитуды на измеренную величину Aexp(r), сохранение текущей фазы.
  4. Обратное преобразование для корректировки фазы в пространстве объекта.
  5. Применение ограничений на объект (поддержка, неотрицательность, известный диапазон фаз) для стабилизации итерации.
  6. Повторение шагов до сходимости.

Основные алгоритмы:

  • Алгоритм Фейнмана-Гершберга (Gerchberg–Saxton, GS) Предназначен для реконструкции фазового распределения, используя два или более измеренных поля в различных плоскостях. Итерации включают чередование прямого и обратного Фурье-преобразований с заменой амплитуды на измеренную. Эффективен при хорошо определённых границах объекта, но может застревать в локальных минимумах.

  • Hybrid Input-Output (HIO) Модификация GS с усиленной устойчивостью к локальным минимумам. В пространстве объекта применяется корректировка фаз по формуле:

    $$ \phi_{n+1}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \phi_n(\mathbf{r}) & \mathbf{r} \in \text{support}, \\ \phi_n(\mathbf{r}) - \beta \phi_n(\mathbf{r}) & \mathbf{r} \notin \text{support}, \end{cases} $$

    где β — параметр релаксации. Алгоритм широко используется в когерентной дифракционной микроскопии (CDI).

  • Iterative Phase Retrieval with Constraints Сочетает несколько ограничений: поддержка, амплитудные данные, физические свойства объекта (например, реальность, неотрицательность). Позволяет повысить точность реконструкции и уменьшить артефакты.

Ограничения и физические условия

Эффективность восстановления фазы зависит от:

  • Когерентности излучения. Полная пространственная и временная когерентность повышает стабильность итераций.
  • Числа измеренных плоскостей. Чем больше независимых плоскостей интенсивности, тем более однозначна задача.
  • Наличие шумов. Шумовые помехи требуют регуляризации алгоритма или фильтрации данных.
  • Границы и поддержка объекта. Знание формы или области существования объекта существенно ускоряет сходимость.

Применения в синхротронной радиации

  1. Когерентная рентгеновская дифракционная микроскопия (CXDI) Использует итеративное восстановление фазы для получения 3D-карт амплитуды и фазы с разрешением на уровне десятков нанометров.

  2. Фазово-контрастная визуализация биологических объектов Прямые методы TIE позволяют восстановить фазы, что повышает контраст для малорассеивающих тканей.

  3. Наноструктурный анализ материалов В комбинации с дифракцией и спектроскопией фазовое восстановление помогает выявлять внутренние дефекты и неоднородности.

  4. Синхротронная томография Использование восстановленной фазы для реконструкции 3D плотности материала с высокой точностью.

Современные тенденции

  • Комбинация прямых и итеративных методов: первоначальное приближение фазы получают с помощью TIE, а уточнение выполняется итеративно.
  • Машинное обучение и нейросетевые алгоритмы: использование глубоких сетей для восстановления фазы по ограниченному числу измерений интенсивности.
  • Сверхбыстрая когерентная визуализация: оптимизация алгоритмов для реального времени при проведении экспериментов с высокими скоростями регистрации.

Эти подходы расширяют возможности синхротронной радиации в физике, позволяя получать детализированные пространственно-временные карты волнового поля и анализировать сложные системы на наномасштабном уровне.

Оглавление