В исследованиях с использованием синхротронного излучения часто возникает задача восстановления фазы волнового поля, исходя из измеряемой интенсивности. Поскольку детекторы регистрируют только интенсивность, а не фазу, требуется применение специальных алгоритмических методов, обеспечивающих реконструкцию комплексного волнового фронта. Эта задача критически важна для дифракционных экспериментов, рентгеновской микроскопии и фазово-контрастной визуализации материалов.
Рассмотрим волновое поле Ψ(r) = A(r)eiϕ(r), где A(r) — амплитуда, а ϕ(r) — фаза. При детектировании регистрируется интенсивность I(r) = |Ψ(r)|2 = A2(r), что приводит к потере информации о фазе. Задача восстановления фазы формулируется как поиск функции ϕ(r), совместимой с наблюдаемой интенсивностью и физическими ограничениями объекта и системы.
Существует два фундаментальных подхода:
К прямым методам относятся аналитические и преобразовательные подходы, которые позволяют получить фазу без многократных итераций.
Метод транспортиуемой интенсивности (TIE, Transport of Intensity Equation) Основывается на уравнении переноса интенсивности:
$$ \frac{\partial I(x,y,z)}{\partial z} = -\frac{\lambda}{2\pi} \nabla_\perp \cdot [I(x,y,z) \nabla_\perp \phi(x,y,z)], $$
где ∇⟂ — градиент в плоскости детектора, λ — длина волны. Решение этого уравнения позволяет получить плоскую фазу при малых приращениях вдоль направления распространения волны. Метод эффективен для слаборассеивающих объектов и фазово-прозрачных материалов.
Методы на основе Фурье-преобразований В дифракционных экспериментах широко используется анализ амплитуды и фазы в пространстве Фурье. Применяются аппроксимации типа weak phase object или projection approximation, которые позволяют линейно связать фазу с измеренной интенсивностью в далёкой зоне.
Прямые методы обладают высокой скоростью и стабильностью, но ограничены условиями применимости: слабое рассеяние, малый угол рассеяния, отсутствие сильных неоднородностей.
Итеративные алгоритмы являются универсальными инструментами и позволяют работать с широким классом объектов и экспериментальных схем.
Ключевые принципы итеративных алгоритмов:
Основные алгоритмы:
Алгоритм Фейнмана-Гершберга (Gerchberg–Saxton, GS) Предназначен для реконструкции фазового распределения, используя два или более измеренных поля в различных плоскостях. Итерации включают чередование прямого и обратного Фурье-преобразований с заменой амплитуды на измеренную. Эффективен при хорошо определённых границах объекта, но может застревать в локальных минимумах.
Hybrid Input-Output (HIO) Модификация GS с усиленной устойчивостью к локальным минимумам. В пространстве объекта применяется корректировка фаз по формуле:
$$ \phi_{n+1}(\mathbf{r}) = \begin{cases} \phi_n(\mathbf{r}) & \mathbf{r} \in \text{support}, \\ \phi_n(\mathbf{r}) - \beta \phi_n(\mathbf{r}) & \mathbf{r} \notin \text{support}, \end{cases} $$
где β — параметр релаксации. Алгоритм широко используется в когерентной дифракционной микроскопии (CDI).
Iterative Phase Retrieval with Constraints Сочетает несколько ограничений: поддержка, амплитудные данные, физические свойства объекта (например, реальность, неотрицательность). Позволяет повысить точность реконструкции и уменьшить артефакты.
Эффективность восстановления фазы зависит от:
Когерентная рентгеновская дифракционная микроскопия (CXDI) Использует итеративное восстановление фазы для получения 3D-карт амплитуды и фазы с разрешением на уровне десятков нанометров.
Фазово-контрастная визуализация биологических объектов Прямые методы TIE позволяют восстановить фазы, что повышает контраст для малорассеивающих тканей.
Наноструктурный анализ материалов В комбинации с дифракцией и спектроскопией фазовое восстановление помогает выявлять внутренние дефекты и неоднородности.
Синхротронная томография Использование восстановленной фазы для реконструкции 3D плотности материала с высокой точностью.
Эти подходы расширяют возможности синхротронной радиации в физике, позволяя получать детализированные пространственно-временные карты волнового поля и анализировать сложные системы на наномасштабном уровне.