В физике синхротронного излучения особое значение имеют специальные функции, такие как функции Бесселя, функции Эйри и модифицированные функции Макдональда. Они описывают распределение мощности, угловые характеристики и спектральные зависимости излучения заряженных частиц в магнитных полях. Поскольку анализ часто проводится в предельных режимах — при больших или малых аргументах — основным инструментом становится использование асимптотических разложений. Эти приближения позволяют получать аналитические выражения, удобные для оценки свойств излучения в экстремальных физических условиях.
Функции Бесселя первого рода Jν(x) и второго рода Yν(x) широко применяются при описании гармонического состава излучения. При больших значениях аргумента x ≫ 1 асимптотическое разложение принимает вид:
$$ J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\left( x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right), $$
$$ Y_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin\left( x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right). $$
Эти приближения важны при анализе высокочастотного спектра, где аргумент функций пропорционален числу гармоники, а частота синхротронного излучения велика.
В области малых аргументов x ≪ 1 функции Бесселя имеют разложения в степенные ряды, что полезно для низкочастотного анализа. Например,
$$ J_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^\nu. $$
Таким образом, асимптотики позволяют переходить от точных выражений к удобным аналитическим формулам в различных спектральных диапазонах.
Функции Эйри $ (x)$ и Bi(x) появляются при описании переходного поведения спектра синхротронного излучения в окрестности критической частоты ωc.
Для x → +∞:
$$ \mathrm{Ai}(x) \sim \frac{1}{2 \sqrt{\pi} x^{1/4}} \exp\left( -\frac{2}{3} x^{3/2} \right), \quad \mathrm{Bi}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi} x^{1/4}} \exp\left( +\frac{2}{3} x^{3/2} \right). $$
Здесь функция Ai(x) быстро убывает, что соответствует экспоненциальному подавлению спектра выше критической частоты.
Для x → −∞:
$$ \mathrm{Ai}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi} |x|^{1/4}} \sin\left( \frac{2}{3} |x|^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right), $$
$$ \mathrm{Bi}(x) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi} |x|^{1/4}} \cos\left( \frac{2}{3} |x|^{3/2} + \frac{\pi}{4} \right). $$
Таким образом, при отрицательных аргументах функции Эйри осциллируют, что отражает характерные колебательные структуры спектра ниже критической частоты.
Особое значение в теории синхротронной радиации имеет функция Макдональда Kν(x), используемая в выражениях для спектральной плотности излучения.
Для больших аргументов x ≫ 1:
$$ K_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} \exp(-x). $$
Эта экспоненциальная форма описывает быстрое затухание излучения в области высоких энергий, когда частота намного превышает критическую.
Для малых аргументов x ≪ 1 при ν > 0:
$$ K_\nu(x) \sim \frac{1}{2} \Gamma(\nu) \left(\frac{1}{2} x \right)^{-\nu}. $$
Важный частный случай — функция K5/3(x), определяющая спектральное распределение мощности синхротронного излучения. Её асимптотики:
$$ K_{5/3}(x) \sim \frac{\Gamma(5/3)}{2^{2/3}} x^{-5/3}, $$
$$ K_{5/3}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}. $$
Именно эти выражения позволяют получать приближённые аналитические формулы для интегралов, определяющих мощность и спектральные характеристики.
В спектральных формулах синхротронного излучения часто встречается интеграл
F(x) = x∫x∞K5/3(ξ) dξ.
Для малых аргументов (x ≪ 1):
$$ F(x) \sim \frac{2^{2/3} \Gamma(2/3)}{3} \, x^{1/3}. $$
Для больших аргументов (x ≫ 1):
$$ F(x) \sim \sqrt{\frac{\pi x}{2}} e^{-x}. $$
Эти асимптотические формы отражают ключевые свойства спектра: степенной рост в области малых частот и экспоненциальное затухание в высокочастотной области.
Асимптотические приближения специальных функций позволяют:
Таким образом, использование асимптотик делает возможным построение наглядной и физически интерпретируемой картины синхротронного излучения, без необходимости обращаться к громоздким точным выражениям.