Бетатронные колебания

Бетатронные колебания представляют собой поперечные колебания частиц относительно их идеальной орбиты в синхротроне или накопителе. Эти колебания возникают из-за малых отклонений частиц от идеальной траектории под действием магнитного поля и фокусирующих структур. В отличие от орбитальных колебаний по центральной траектории, бетатронные колебания описывают динамику частиц в пределах поперечных координат — горизонтальной x и вертикальной y.

Поперечные колебания можно разделить на два типа:

  • Горизонтальные (x) — вдоль направления движения частиц в плоскости кольца.
  • Вертикальные (y) — перпендикулярно плоскости движения.

Математически эти колебания описываются уравнениями гармонического осциллятора с переменной жесткостью, где сила фокусировки задается магнитными элементами, такими как квадруполи.

Уравнения движения и функция Холла

Поперечное движение частицы описывается уравнением:

$$ \frac{d^2 x}{ds^2} + K_x(s) x = 0, \quad \frac{d^2 y}{ds^2} + K_y(s) y = 0, $$

где s — продольная координата вдоль идеальной орбиты, а Kx(s), Ky(s) — функции, характеризующие фокусирующую силу, зависящую от магнитного поля.

Функция Холла β(s) вводится для описания амплитуды колебаний вдоль орбиты:

$$ x(s) = \sqrt{\varepsilon \beta(s)} \cos(\psi(s) + \delta), $$

где ε — эмиттанс (интегральная мера «размера» пучка в фазовом пространстве), ψ(s) — фазовая функция, определяемая через β(s):

$$ \frac{d\psi}{ds} = \frac{1}{\beta(s)}. $$

Функция Холла отражает распределение амплитуд колебаний вдоль кольца и является ключевым инструментом анализа стабильности пучка.

Параметры и характеристики бетатронных колебаний

  1. Эмиттанс ε — постоянная величина для идеального (бездиссипативного) пучка. Она характеризует площадь фазового эллипса в плоскости (x, x′), где x′ = dx/ds.
  2. Бетатронная функция β(s) — показывает локальную «жесткость» фокусировки и влияет на размер пучка:

$$ \sigma_x(s) = \sqrt{\varepsilon \beta(s)}, \quad \sigma_y(s) = \sqrt{\varepsilon \beta_y(s)}. $$

  1. Бетатронный фазовый аргумент ψ(s) определяет фазу колебания частицы относительно начала орбиты.
  2. Число бетатронных колебаний ν (или «тюн») — количество поперечных колебаний на один оборот:

$$ \nu = \frac{1}{2\pi} \oint \frac{ds}{\beta(s)}. $$

Это критический параметр при проектировании синхротронов, так как резонансные значения ν приводят к потере стабильности пучка.

Влияние магнитной структуры

Магнитные элементы синхротрона создают распределение K(s) вдоль орбиты. Основные компоненты:

  • Диполи — обеспечивают замкнутую орбиту и создают главную кривизну.
  • Квадруполи — отвечают за фокусировку, определяют параметры β(s) и частоту бетатронных колебаний.
  • Секступоли и более высокие мультиполи — корректируют нелинейные эффекты, смещающие частоту колебаний в зависимости от амплитуды.

Моделирование движения пучка требует решения линейного уравнения с переменной жесткостью. Часто используют матрицы переноса для каждого магнитного элемента и их последовательное перемножение, что позволяет получить полное решение для орбиты и колебаний.

Амплитудная и фазовая структура колебаний

Каждое бетатронное колебание можно представить в виде:

$$ x(s) = A \sqrt{\beta(s)} \cos(\psi(s) + \delta), $$

где амплитуда $A = \sqrt{\varepsilon}$ определяется начальной эмиттансной областью. Ключевой момент: размер пучка изменяется вдоль орбиты, следуя функции β(s). В точках с малой β(s) пучок сжимается, а при большой β(s) расширяется.

Фаза ψ(s) увеличивается монотонно вдоль орбиты и управляет синхронизацией частиц внутри пучка. Правильная настройка β(s) позволяет минимизировать перекрытие пучков и потери.

Линейные и нелинейные эффекты

  • Линейные колебания — описываются уравнениями, приведенными выше, и определяют базовую стабильность пучка.

  • Нелинейные эффекты возникают из-за многополюсных магнитов, ошибочного выравнивания или влияния собственных полей пучка (space charge). Они приводят к:

    • смещению частоты бетатронных колебаний с амплитудой;
    • появлению резонансных зон;
    • увеличению эмиттанса и потере частиц.

Эти эффекты тщательно учитываются при проектировании высокоинтенсивных синхротронов.

Связь с продольными колебаниями

Бетатронные колебания взаимодействуют с продольными, что проявляется в коррекции орбиты при изменении энергии. Частицы с большей энергией отклоняются наружу из-за дисперсионного эффекта:

$$ x(s) = x_\beta(s) + D(s) \frac{\Delta p}{p_0}, $$

где D(s) — дисперсионная функция, Δp/p0 — относительное изменение импульса.

Эта связь важна для синхронизации ускорителя и стабилизации пучка.

Оглавление