Накопительное кольцо представляет собой замкнутую магнитную структуру, в которой заряженные частицы, как правило электроны или позитроны, циркулируют на ультрарелятивистских энергиях. Для обеспечения стабильности движения необходимо управлять как продольной, так и поперечной динамикой частиц. При этом учитываются магнитные поля изгибающих и фокусирующих элементов, а также влияние радиационных потерь и систем радиочастотного (РЧ) ускорения.
Циркуляция электрона в накопительном кольце подчиняется уравнению Лоренца. Основная орбита, по которой движется частица, называется синхротронной орбитой или опорной траекторией. Все остальные частицы совершают малые колебания относительно неё.
Для описания движения вблизи идеальной орбиты применяются методы линейной аппроксимации и матриц передачи, позволяющие учитывать смещения и углы отклонений. Движение разделяют на две ортогональные компоненты:
Таким образом, динамика частицы в кольце сводится к задаче устойчивости малых колебаний около равновесной орбиты.
Для характеристики поперечной динамики вводятся оптические функции кольца.
Эти параметры определяются решением уравнения Хилла, описывающего колебания в переменно-фокусирующей системе. Важным является выполнение условия устойчивости движения, которое требует, чтобы собственные частоты колебаний (число бетатронных колебаний за оборот, или туновые числа) оставались нецелыми и не совпадали с резонансными комбинациями.
При отклонении частицы от равновесной орбиты возникают бетатронные колебания. Их амплитуда и фаза зависят от координаты вдоль кольца. Устойчивость этих колебаний определяется параметрами магнитной решётки.
Особое значение имеют резонансы. Если туновое число близко к целому или рациональному значению, то малые возмущения могут привести к росту амплитуды колебаний и потере устойчивости. Для предотвращения этого выбирают оптимальные рабочие точки в пространстве (Qx, Qy), где Qx и Qy – горизонтальное и вертикальное туновые числа.
Из-за зависимости туновых чисел от энергии частицы возникает явление хроматизма. Частицы с разной энергией испытывают различное фокусирующее действие квадруполей, что приводит к размазыванию пучка и снижению стабильности.
Для компенсации хроматизма используют секступольные магниты, создающие поля, зависящие от координаты частицы. Их правильная настройка позволяет поддерживать устойчивую фокусировку для широкого энергетического распределения пучка.
Помимо поперечной устойчивости необходимо поддерживать синхронизацию частиц с РЧ-камерой, компенсирующей потери энергии на излучение.
В продольной плоскости динамика описывается в терминах фазового угла и отклонения энергии. Каждая частица совершает синхротронные колебания относительно синхронной. Эти колебания обеспечивают удержание электронов в «РЧ-ковше» — области стабильного захвата.
Параметры продольной динамики определяются:
При движении по изогнутым траекториям электроны теряют энергию на синхротронное излучение. В накопительных кольцах эти потери значительны и возрастают с увеличением энергии по закону U ∼ E4/R, где E — энергия частицы, R — радиус кривизны.
Для компенсации потерь в кольцо вводится РЧ-система, восстанавливающая энергию каждого электрона. Баланс энергии приводит к формированию стационарного состояния пучка, в котором радиационные потери уравновешиваются ускоряющим действием.
В накопительных кольцах формируется устойчивое распределение частиц в фазовом пространстве. Важнейшей характеристикой является эмиттанс, определяющий площадь, занимаемую пучком.
Эмиттанс ограничивает пространственную когерентность и яркость синхротронного излучения, поэтому оптимизация эмиттанса является ключевой задачей проектирования накопительных колец нового поколения.
Для практической работы важен не только теоретический эмиттанс, но и реальная область устойчивых движений, называемая динамическим апертуром. Она зависит от нелинейностей магнитного поля, наличия секступолей и более высоких мультипольных компонентов.
Чем больше динамический апертур, тем выше вероятность успешного инжектирования и удержания пучка. Для его увеличения используют специальные схемы коррекции нелинейностей.