Функции Бесселя возникают как решения дифференциального уравнения второго порядка
$$ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2) y = 0, $$
где ν — порядок функции. Это уравнение появляется в задачах, обладающих цилиндрической или сферической симметрией, включая распространение волн, дифракцию и анализ излучения заряженных частиц.
Существует два фундаментальных решения: функции Бесселя первого рода Jν(x) и второго рода Yν(x).
Функция Бесселя первого рода:
$$ J_\nu(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}, $$
где Γ(z) — гамма-функция. Эта функция конечна при x = 0 (для ν > −1) и часто используется при постановке физических граничных задач.
Функция Бесселя второго рода:
$$ Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu \pi)}, $$
определена через линейную комбинацию Jν(x) и J−ν(x). Она сингулярна при x = 0, но необходима для построения общего решения.
Обе функции образуют фундаментальную систему решений, что позволяет записать общее решение уравнения в виде:
y(x) = AJν(x) + BYν(x).
Для больших значений аргумента (x ≫ ν) справедливы приближённые выражения:
$$ J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos\left(x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right), $$
$$ Y_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin\left(x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right). $$
Таким образом, функции Бесселя ведут себя как затухающие осцилляции. Это играет ключевую роль в анализе спектральных характеристик синхротронного излучения, где интенсивность распределяется по гармоникам, описываемым именно такими осциллирующими функциями.
Вблизи нуля функции имеют разложения:
$$ J_\nu(x) \sim \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^\nu, $$
$$ Y_\nu(x) \sim -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left(\frac{2}{x}\right)^\nu + \dots $$
При переходе от волновых задач к экспоненциально затухающим или растущим решениям вводятся модифицированные функции Бесселя. Они определяются через замену аргумента x → ix:
Iν(x) = i−νJν(ix),
$$ K_\nu(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin(\nu \pi)}. $$
Iν(x) возрастает экспоненциально при больших x:
$$ I_\nu(x) \sim \frac{e^x}{\sqrt{2 \pi x}}. $$
Kν(x) убывает экспоненциально:
$$ K_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x}. $$
Эти функции необходимы при описании процессов, где возникает не осцилляционное, а экспоненциальное поведение полей, например, при анализе туннелирования или пространственных затуханий электромагнитных волн.
В теории синхротронной радиации функции Бесселя и их модификации появляются при вычислении углового и спектрального распределения излучения релятивистских частиц. Интенсивность излучения на n-й гармонике определяется выражениями, включающими квадраты функций Бесселя:
$$ I_n(\theta) \propto \left[ J_n'(z) \right]^2 + \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} J_n(z) \right)^2, $$
где z = n βsin θ, β = v/c.
При больших гармониках n именно асимптотические свойства функций Бесселя позволяют получать приближённые выражения для спектров излучения.
Модифицированные функции Бесселя, в частности Kν(x), описывают распределение энергии излучения при релятивистских скоростях. Формулы для спектральной плотности мощности излучения выражаются через комбинации K1/3 и K2/3. Например:
P(ω) ∝ ω∫ω/ωc∞K5/3(x) dx,
где ωc — критическая частота. Здесь ключевая роль принадлежит именно модифицированным функциям Бесселя дробного порядка.
Функции Бесселя обладают рядом интегральных форм, полезных в вычислениях. Например:
$$ J_\nu(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\nu t - x \sin t)\, dt, $$
Kν(x) = ∫0∞e−xcosh tcosh (νt) dt.
Эти представления позволяют эффективно вычислять функции при численных расчётах и раскрывают их связь с гармоническими и экспоненциальными процессами.
Функции Бесселя и их модификации — универсальный математический аппарат, который применим при:
Особое значение имеют асимптотики и дробные порядки функций K1/3(x), K2/3(x), поскольку именно они входят в аналитические выражения для спектров синхротронного излучения.