Важным элементом математического аппарата при описании синхротронного излучения являются интегралы, содержащие функции Бесселя и их производные. Эти интегралы возникают естественным образом при выводе спектральных и угловых характеристик излучения заряженных частиц в магнитном поле. В частности, описание интенсивности, поляризационных свойств и распределений по частоте опирается на интегральные представления, где функции Бесселя играют роль базовых специальных функций.
При анализе синхротронного излучения встречаются интегралы следующего вида:
Iν(a) = ∫0∞cos (ax)Jν(x) dx,
Kν(a) = ∫0∞sin (ax)Jν(x) dx,
Lν(a) = ∫0∞e−pxJν(x) dx,
где Jν(x) — функция Бесселя первого рода порядка ν.
Эти интегралы имеют хорошо известные аналитические выражения и часто сводятся к комбинациям гипергеометрических функций или к элементарным функциям при целых значениях порядка ν.
В теории синхротронного излучения особенно важны интегралы, содержащие квадраты и произведения функций Бесселя. Это связано с тем, что мощность излучения и его спектральное распределение выражаются через амплитуды полей, которые, в свою очередь, описываются через функции Бесселя.
Наиболее характерны следующие выражения:
I1(ξ) = ∫0∞Jν2(x)e−ξx dx,
I2(ξ) = ∫0∞Jν(x)Jν + 1(x)e−ξx dx,
$$ I_3(\xi) = \int_{0}^{\infty} \frac{J_{\nu}(x)}{x} \, dx, $$
где параметр ξ определяется физическими условиями (например, отношением частот или геометрическими характеристиками траектории частицы).
Эти интегралы играют ключевую роль при вычислении функций вида
F(ξ) = ξ∫ξ∞K5/3(y) dy, G(ξ) = ξK2/3(ξ),
где Kν(x) — модифицированные функции Бесселя второго рода. Именно такие комбинации задают форму спектрального распределения синхротронного излучения.
Интегралы с функциями Бесселя удобно вычислять с применением преобразований Фурье и Лапласа. Например, хорошо известен результат:
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-px} J_{\nu}(ax) \, dx = \frac{( \sqrt{p^2+a^2} - p )^{\nu}}{a^{\nu} \sqrt{p^2+a^2}}, \quad \Re(p) > 0. $$
Это соотношение активно используется при переходе от временных зависимостей к частотным характеристикам в синхротронной теории. Оно позволяет заменить громоздкие интегралы по времени на компактные выражения через специальные функции.
Интегралы вида ∫Jν2(x)dx: Эти выражения определяют средние значения мощности излучения и встречаются при усреднении по углам.
Интегралы с произведениями Jν(x)Jν ± 1(x): Они отвечают за поляризационные характеристики излучения и формируют зависимость интенсивности от направления наблюдения.
Интегралы с экспонентами: Их использование связано с введением затухающих факторов или переходом к спектральным плотностям через преобразование Лапласа.
Интегралы, сводящиеся к Kν(x): Именно модифицированные функции Бесселя второго рода оказываются универсальными при описании спектра синхротронного излучения в релятивистском случае.
Функции Бесселя и интегралы от них образуют основу аналитического аппарата, применяемого в задачах радиации ускоренных зарядов. С их помощью удаётся:
Фактически, интегралы от функций Бесселя являются универсальным инструментом, позволяющим связать траекторию заряда в магнитном поле с наблюдаемыми характеристиками синхротронного излучения.