При движении заряженной частицы со скоростью, близкой к скорости света, в поперечном магнитном поле излучение формируется в узкой угловой области вдоль касательной к траектории. Спектральное распределение энергии такого излучения отличается от классического дипольного излучения: оно имеет широкий непрерывный характер и определяется так называемой критической частотой (или критической энергией фотонов). Эта частота задаёт естественную шкалу спектра синхротронного излучения, разделяя диапазон на низкочастотную область, где интенсивность убывает сравнительно медленно, и высокочастотную, где спад экспоненциальный.
Пусть частица с энергией E = γmc2 движется по окружности радиусом R в магнитном поле. Критическая угловая частота определяется выражением
$$ \omega_{c} = \frac{3}{2} \, \gamma^{3} \, \frac{c}{R}, $$
где
Соответствующая частота в герцах равна
$$ \nu_{c} = \frac{\omega_{c}}{2\pi} = \frac{3}{4\pi} \, \gamma^{3} \, \frac{c}{R}. $$
Критическая частота определяет характерную энергию фотонов синхротронного излучения:
$$ E_{c} = \hbar \omega_{c} = \frac{3}{2} \hbar \, \gamma^{3} \frac{c}{R}. $$
Таким образом, спектр можно описывать в терминах этой энергии: значительная часть (около половины) полной мощности излучения сосредоточена в диапазоне энергий фотонов, не превышающих Ec.
Критическая частота связана с конечной длительностью импульса излучения, наблюдаемого в лабораторной системе. Поскольку излучение сосредоточено в узком угловом конусе порядка Δθ ∼ 1/γ, наблюдатель фиксирует излучение лишь в интервале времени
$$ \Delta t \sim \frac{R}{\gamma^{3} c}. $$
Фурье-анализ такого импульса приводит именно к спектральной ширине, порядка ωc. Это объясняет кубическую зависимость от γ: чем выше энергия частицы, тем более сжат по времени сигнал, и тем выше его спектральное расширение.
Форма спектра синхротронного излучения выражается через модифицированные функции Бесселя второго рода:
$$ \frac{dI}{d\omega} \propto \left( \frac{\omega}{\omega_{c}} \right) \int_{\omega/\omega_{c}}^{\infty} K_{5/3}(x) \, dx, $$
где K5/3(x) — функция Макдональда.
Таким образом, критическая частота играет роль граничной величины, определяющей, где спектр перестаёт быть степенным и переходит в область быстрого спада.
В синхротронах и накопителях электронов энергия частиц достигает гигаэлектронвольтных масштабов. При γ ∼ 104 и радиусах кривизны R ∼ 10 м, критическая энергия фотонов составляет десятки кэВ, что соответствует рентгеновскому диапазону. Именно это делает синхротронное излучение исключительно ценным источником жёсткого излучения для научных исследований.
Для протонов при той же энергии γ значительно меньше, так как масса протона больше. Поэтому критическая энергия фотонов в протонных кольцах обычно находится в диапазоне радиоволн или микроволн, что объясняет, почему синхротронное излучение в ускорителях тяжёлых частиц не имеет практического значения в области рентгеновского спектра.
Полная излучаемая мощность не зависит напрямую от ωc, но распределение этой мощности по спектру определяется именно критической частотой. В частности, примерно 50 % энергии приходится на фотонные моды с ω < 0.45 ωc, а около 90 % — на частоты ниже 3 ωc. Это позволяет использовать ωc как удобный параметр для описания ширины спектра и оценки диапазона интенсивного излучения.
В случае электронов, движущихся в магнитном поле напряжённостью B, радиус кривизны траектории выражается через импульс частицы:
$$ R = \frac{\gamma m c}{e B}. $$
Подставляя это выражение в формулу для критической частоты, получаем:
$$ \omega_{c} = \frac{3}{2} \, \gamma^{2} \, \frac{e B}{m}. $$
В этой форме видно, что характерная энергия фотонов растёт квадратично с энергией частицы ( ∝ γ2) и линейно с магнитной индукцией. Это особенно важно для проектирования современных источников синхротронного излучения, где повышение энергии и усиление магнитных полей позволяют достигать всё более высоких фотонных энергий.