Квантовое возбуждение и равновесный эмиттанс

Квантовое возбуждение и равновесный эмиттанс являются ключевыми понятиями в теории синхротронной радиации, играющими фундаментальную роль в динамике электронных пучков в кольцевых ускорителях. Они описывают процессы, определяющие предельную размерность и качество пучка, а также взаимосвязь между излучением и колебательными свойствами частиц.

1. Основы квантового возбуждения

В процессе движения электрона по замкнутой траектории с радиусом кривизны ρ в магнитном поле возникает синхротронное излучение. Энергия излучения теряется дискретными квантами, что вызывает флуктуации скорости и орбиты электрона. Этот процесс носит случайный характер и называется квантовым возбуждением.

Математически флуктуации описываются как стохастический процесс с дисперсией:

$$ \langle (\Delta E)^2 \rangle \sim \frac{55}{24\sqrt{3}} \hbar c r_e \frac{\gamma^7}{\rho^3} $$

где:

  • ℏ — приведённая постоянная Планка,
  • re — классический радиус электрона,
  • γ — фактор Лоренца,
  • ρ — радиус кривизны траектории электрона.

Каждое излучение уменьшает энергию частицы, вызывая демпфирование колебаний, однако стохастический характер квантовых всплесков приводит к росту амплитуды колебаний, что и называется квантовым возбуждением.

2. Баланс демпфирования и квантового возбуждения

Эволюция эмиттанса электрона определяется конкуренцией двух процессов:

  1. Демпфирование: усредненное потеря энергии на синхротронное излучение уменьшает амплитуду колебаний.
  2. Квантовое возбуждение: случайные потери энергии увеличивают дисперсию орбитальных отклонений.

Равновесное состояние достигается, когда среднее усиление амплитуд колебаний за счёт квантового возбуждения уравновешивается демпфированием. Это приводит к установившемуся значению горизонтального, вертикального и синхронного эмиттансов, которое определяется только свойствами магнитной системы и энергией пучка.

Дифференциальное уравнение для среднего квадрата амплитуды колебаний ⟨x2⟩ имеет вид:

$$ \frac{d}{dt} \langle x^2 \rangle = -2 \alpha_x \langle x^2 \rangle + D_x $$

где:

  • αx — коэффициент демпфирования,
  • Dx — диффузионный член, характеризующий квантовое возбуждение.

В установившемся состоянии d⟨x2⟩/dt = 0, и тогда:

$$ \langle x^2 \rangle_\text{eq} = \frac{D_x}{2\alpha_x} $$

3. Эмпирическая формула равновесного горизонтального эмиттанса

Для электрона в кольцевом ускорителе равновесный горизонтальный эмиттанс εx выражается как:

$$ \varepsilon_x = C_q \gamma^2 \frac{\langle H / \rho^3 \rangle}{J_x \langle 1/\rho^2 \rangle} $$

где:

  • $C_q = \frac{55 \hbar}{32 \sqrt{3} m c} \approx 3.832 \times 10^{-13}\, \text{м}$,
  • H = γxη2 + 2αxηη′ + βxη′2 — функция инварианта Дюлли, зависящая от функций Фока-Дюлли (αx, βx, γx) и дисперсии η,
  • Jx — горизонтальный демпфирующий коэффициент,
  • ρ — радиус кривизны.

Эта формула показывает, что уменьшение радиуса кривизны (усиление магнитного поля) или повышение энергии γ приводит к росту равновесного эмиттанса. Управление функцией H позволяет оптимизировать дизайн кольца для минимизации горизонтального размера пучка.

4. Вертикальный и синхронный эмиттанс

Вертикальный эмиттанс εy обычно формируется из-за небольших отклонений от плоскости и неправильного выравнивания магнитов. Для идеальной плоскости без перекрестных наклонов:

εy ≪ εx

Синхронный (энергетический) эмиттанс определяется равновесием между демпфированием синхронных колебаний и квантовым возбуждением в энергии:

$$ \sigma_E^2 = C_q \gamma^2 \frac{\langle 1/\rho^3 \rangle}{J_\epsilon \langle 1/\rho^2 \rangle} E_0^2 $$

где Jϵ — демпфирующий коэффициент синхронного колебания.

5. Физический смысл и последствия

  • Качество пучка: равновесный эмиттанс определяет минимально достижимую размерность пучка, критическую для экспериментов с высокой пространственной и временной разрешающей способностью.
  • Проектирование ускорителей: оптимизация функций Фока-Дюлли и конфигурации магнитов позволяет минимизировать горизонтальный эмиттанс, что особенно важно для кольцевых световых источников.
  • Динамика пучка: понимание баланса демпфирования и квантового возбуждения позволяет прогнозировать распределение частиц и стабильность пучка.

6. Заключение физического процесса

Квантовое возбуждение представляет собой фундаментальное ограничение на минимальные размеры электронного пучка. Даже при идеальных магнитных системах, равновесный эмиттанс задается исключительно свойствами синхротронного излучения и геометрией кольца. Именно взаимодействие демпфирования и квантового возбуждения формирует устойчивое состояние пучка, которое является основой для современных источников синхротронного света и коллайдеров.

Оглавление