При рассмотрении излучения заряженных частиц в магнитном поле важно различать два режима: нерелятивистский и релятивистский. В нерелятивистском случае частица движется по спирали вокруг силовых линий магнитного поля с частотой Лармора, а её излучение сосредоточено в относительно узком диапазоне частот, близком к циклотронной частоте. В релятивистском же режиме ситуация существенно изменяется.
Когда скорость частицы приближается к скорости света, релятивистский фактор Лоренца
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$
становится большим. Это приводит к ряду эффектов, кардинально меняющих картину излучения:
В магнитном поле частица описывает спираль с радиусом кривизны траектории
$$ \rho = \frac{\gamma m v_\perp}{eB}, $$
где v⟂ — проекция скорости на плоскость, перпендикулярную магнитному полю, e и m — заряд и масса частицы, B — индукция магнитного поля. В релятивистском случае радиус значительно увеличивается за счёт множителя γ, что приводит к более пологой траектории.
Ускорение частицы, ответственное за излучение, определяется центростремительным ускорением:
$$ a = \frac{v_\perp^2}{\rho} = \frac{eB v_\perp}{\gamma m}. $$
Здесь видно, что при росте γ величина ускорения уменьшается, однако рост мощности излучения компенсируется угловой коллимацией и сдвигом спектра.
В нерелятивистском случае излучение обладает дипольной структурой, близкой к синусоидальной зависимости по углу. Для релятивистских частиц диаграмма направленности искажена: излучение концентрируется в узком пучке, направленном вдоль касательной к траектории движения. При наблюдении под малым углом к этому направлению интенсивность максимальна, а за пределами углового интервала порядка 1/γ она резко падает.
Этот эффект — релятивистское сжатие излучения — объясняется специальной теорией относительности и связан с аберрацией света. Он приводит к тому, что наблюдатель фиксирует короткие, но очень интенсивные импульсы излучения при пролёте частицы.
В нерелятивистском режиме спектр излучения состоит из дискретных гармоник циклотронной частоты ωB = eB/mc. В релятивистском случае ситуация меняется: за счёт эффекта Доплера и сжатия импульсов гармоники перекрываются, образуя почти непрерывный спектр.
Характерная частота синхротронного излучения оценивается выражением:
$$ \omega_c \approx \frac{3}{2} \gamma^3 \frac{c}{\rho}. $$
Эта частота называется критической. Большая часть энергии излучения сосредоточена вблизи ωc. Таким образом, релятивистское движение сдвигает спектр в область гораздо более высоких частот, включая рентгеновский и гамма-диапазоны.
Мощность излучения релятивистской частицы в магнитном поле описывается формулой Лармора, обобщённой на релятивистский случай:
$$ P = \frac{2 e^4 B^2 \gamma^2 v_\perp^2}{3 m^2 c^3}. $$
Здесь видно, что при больших γ потери энергии становятся чрезвычайно интенсивными. Для электронов это ограничивает их время жизни в магнитосферах планет и в астрофизических объектах, таких как пульсары или активные ядра галактик.
Из-за релятивистского сжатия во времени наблюдатель регистрирует не плавное излучение, а короткие вспышки, соответствующие прохождению частицы через область, где её конус излучения направлен на наблюдателя. Длительность таких вспышек порядка
$$ \Delta t \sim \frac{\rho}{\gamma^3 c}, $$
что может составлять фемто- или аттосекундные интервалы. Именно этот эффект лежит в основе генерации сверхкоротких импульсов в современных синхротронах.
В астрофизике релятивистское синхротронное излучение является важнейшим инструментом для диагностики космических объектов. Оно наблюдается от радиодиапазона до рентгенов и объясняет спектры пульсаров, радиогалактик, сверхновых остатков. В лабораторных условиях релятивистские ускорители электронов создают мощное излучение, используемое для зондирования материи и изучения её свойств.