Энергетические характеристики синхротронного излучения определяются ускорением заряженной частицы, движущейся по криволинейной траектории в магнитном поле. Основой для вычисления полной излучаемой мощности служит релятивистский аналог формулы Лармора, который учитывает преобразования в системе отсчёта, связанной с лабораторным наблюдателем. В нерелятивистском случае мощность излучения частицы с зарядом e и ускорением a описывается выражением
$$ P = \frac{2e^2 a^2}{3c^3}, $$
где c — скорость света.
Для релятивистской частицы (с фактором Лоренца γ ≫ 1) излучение существенно усиливается, и формула принимает вид
$$ P = \frac{2e^2 \gamma^6}{3c^3} \left(a_\perp^2 + \frac{a_\parallel^2}{\gamma^2}\right), $$
где a⟂ и a∥ — поперечная и продольная компоненты ускорения относительно скорости частицы. В случае движения в магнитном поле при радиусе кривизны траектории ρ доминирует поперечное ускорение:
$$ a_\perp = \frac{v^2}{\rho}. $$
Для релятивистского электрона, движущегося по окружности в магнитном поле, скорость близка к c, и выражение для полной мощности принимает вид
$$ P = \frac{2e^2 c}{3\rho^2} \gamma^4, $$
где
Таким образом, мощность растёт пропорционально четвёртой степени релятивистского фактора. Это делает излучение крайне интенсивным для электронов высоких энергий, что является одной из фундаментальных особенностей синхротронной радиации.
Подставим радиус кривизны через магнитное поле:
$$ \rho = \frac{E}{eB c}, $$
где B — величина магнитного поля. Тогда полная мощность может быть выражена как
$$ P = \frac{2 e^4 B^2}{3 m^4 c^5} E^2. $$
Это выражение демонстрирует, что при фиксированном поле B мощность излучения растёт квадратично с энергией частицы.
Для кольцевого ускорителя, содержащего множество магнитных изгибов, удобно вводить удельную мощность потерь энергии на единицу длины орбиты:
$$ \frac{dE}{ds} = \frac{P}{c} = \frac{2 e^2 \gamma^4}{3 \rho^2}. $$
Полные потери энергии на один оборот по орбите длиной C = 2πρ выражаются как
$$ U = \frac{4\pi e^2}{3 \rho} \gamma^4. $$
Эта величина особенно важна для проектирования ускорителей: при росте энергии частицы потери на излучение растут как γ4, что накладывает жёсткие ограничения на достижимые энергии в электронных кольцевых ускорителях.
Для электрона с энергией E = 1 ГэВ, движущегося по орбите радиусом ρ = 10 м, полные потери энергии на оборот составляют величину порядка нескольких кэВ. При увеличении энергии до 10 ГэВ потери возрастают до десятков МэВ. Именно поэтому для ускорения электронов до сотен ГэВ применяются линейные ускорители, где излучательные потери минимальны.
Излучаемая мощность зависит от массы частицы как m−4. Для протонов при тех же энергиях потери на синхротронное излучение оказываются ничтожными по сравнению с электронами. Это объясняет, почему протонные кольцевые ускорители могут достигать энергий в десятки ТэВ, тогда как электронные ограничены существенно меньшими значениями.
Полная мощность излучения определяет:
Таким образом, расчёт полной излучаемой мощности является фундаментальным для понимания физических ограничений и технических решений в области современной ускорительной техники.