Синхротронное излучение обладает чрезвычайно сложной частотной зависимостью, которая определяется релятивистской динамикой заряженных частиц, магнитным полем и угловым распределением. Для аналитического описания спектральных характеристик обычно невозможно получить точное выражение в элементарных функциях, и потому применяются различные приближения для разных диапазонов частот. Эти приближения позволяют извлечь физический смысл поведения излучения и упростить вычисления при конкретных задачах в физике ускорителей и астрофизике.
Введем критическую частоту
$$ \omega_c = \frac{3}{2} \, \gamma^3 \, \frac{c}{\rho}, $$
где γ — лоренцевский фактор, ρ — радиус кривизны траектории частицы, c — скорость света.
Именно ωc служит границей, разделяющей низкочастотную область (ω ≪ ωc) и высокочастотную область (ω ≫ ωc). Большинство приближений строится относительно этой характерной частоты.
В области малых частот спектральная плотность излучения ведёт себя как степенная функция. Используя разложение функций Бесселя, входящих в выражение для спектра, можно показать:
$$ \frac{dI}{d\omega} \propto \omega^{1/3}. $$
Это означает, что:
Такое поведение особенно важно для радиоастрономических наблюдений космических источников синхротронного излучения, где фиксируется рост интенсивности при переходе от крайне низких частот к более высоким.
Вблизи критической частоты спектр достигает максимума. Для описания формы пика используют специальные функции, в частности интегралы Макдональда K5/3(x).
Приближённое выражение для спектра:
$$ \frac{dI}{d\omega} \propto \int_{\omega/\omega_c}^{\infty} K_{5/3}(\xi)\, d\xi. $$
В этой области спектр изменяется наиболее быстро, и численные методы становятся предпочтительными. Однако для инженерных расчётов используют аппроксимации вида:
$$ \frac{dI}{d\omega} \approx C \left( \frac{\omega}{\omega_c} \right)^{1/3} \exp\!\left(-\frac{\omega}{\omega_c}\right), $$
где C — нормировочный коэффициент. Такое выражение одновременно отражает рост при малых ω и экспоненциальное убывание при больших ω.
В этой области спектральная плотность экспоненциально падает:
$$ \frac{dI}{d\omega} \propto \sqrt{\frac{\omega}{\omega_c}} \, \exp\!\left(-\frac{\omega}{\omega_c}\right). $$
Здесь характерно:
Интересно, что закон ω1/3 для низких частот и экспоненциальный спад при высоких частотах проявляются независимо от конкретных параметров траектории частицы. Это связано с универсальной природой асимптотик функций Бесселя, лежащих в основе математического описания.
Для практических расчетов часто требуется единое приближение, которое охватывает весь спектр. Используются функции вида:
$$ \frac{dI}{d\omega} \approx A \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{1/3} \exp\!\left[-B\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)\right], $$
где коэффициенты A и B подбираются так, чтобы аппроксимация совпадала с точным результатом в пределах нескольких процентов на всем диапазоне. Такие выражения позволяют избежать громоздких вычислений с функциями Макдональда и используются в ускорительной физике для быстрой оценки параметров излучения.