Рассмотрим заряд q, движущийся в однородном магнитном поле B. В релятивистском случае уравнения движения выводятся из второго закона Ньютона в форме
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = q \, \mathbf{v} \times \mathbf{B}, $$
где p = γmv — релятивистский импульс, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца, m — масса покоя частицы, v — скорость, c — скорость света.
Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, работа над зарядом не совершается. Следовательно, релятивистская энергия
ℰ = γmc2
остаётся постоянной, а также сохраняется модуль скорости v.
Разложим движение на компоненты, перпендикулярные и параллельные полю B. Параллельная компонента сохраняется неизменной, в то время как перпендикулярная приводит к вращению частицы вокруг силовых линий.
Радиус траектории (так называемый ларморовский радиус в релятивистской форме) выражается как
$$ r_L = \frac{\gamma m v_\perp}{|q|B}, $$
где v⟂ — проекция скорости на плоскость, перпендикулярную B.
Частота вращения (релятивистская циклотронная частота) равна
$$ \omega_c = \frac{|q|B}{\gamma m}. $$
Она уменьшается с ростом энергии частицы из-за фактора γ. Это принципиальное отличие от нерелятивистского движения, где циклотронная частота не зависит от скорости.
При наличии ненулевой продольной компоненты скорости v∥ движение представляет собой спираль вокруг магнитных силовых линий. Радиус спирали задаётся формулой выше, шаг спирали —
$$ h = \frac{2\pi v_\parallel}{\omega_c}. $$
Таким образом, частица описывает винтовую траекторию, постепенно излучая энергию в виде синхротронной радиации.
Важным свойством движения в магнитном поле является сохранение магнитного момента частицы:
$$ \mu = \frac{p_\perp^2}{2mB}, $$
который в адиабатическом приближении остаётся постоянным. Здесь p⟂ = γmv⟂. Сохранение магнитного момента лежит в основе многих процессов плазменной физики и ускорительной техники.
В нерелятивистском случае орбита частицы в плоскости, перпендикулярной полю, является окружностью. В релятивистском случае картина сохраняется, однако период обращения растягивается во времени лабораторного наблюдателя. Для внешнего наблюдателя движение выглядит замедленным за счёт увеличения γ.
При очень больших γ ≫ 1 радиус орбиты становится пропорциональным энергии, а частота обращения убывает как 1/γ. Это создаёт важные условия для генерации синхротронного излучения в ускорителях, поскольку именно релятивистский фактор усиливает коллимацию излучения в направлении скорости частицы.
Хотя сила Лоренца не совершает работы, релятивистская частица, движущаяся по криволинейной траектории, излучает электромагнитные волны. Потери энергии в этом случае определяются мощностью синхротронного излучения:
$$ P = \frac{2q^2 \gamma^4 a_\perp^2}{3c^3}, $$
где $a_\perp = \frac{v_\perp^2}{r_L}$ — центростремительное ускорение.
Таким образом, чем выше энергия частицы, тем сильнее излучение. Этот эффект является одной из главных проблем при проектировании электронных ускорителей больших энергий.
Для нерелятивистских частиц излучение более-менее равномерно распределено по углам. В релятивистском случае излучение сильно коллимировано в узком конусе шириной порядка 1/γ вокруг направления скорости частицы. Поэтому наблюдатель фиксирует интенсивные пульсы излучения, возникающие каждый раз, когда частица обращается на траектории и её конус излучения пересекает линию наблюдения.
Изучение релятивистского движения заряженных частиц в магнитных полях имеет фундаментальное и прикладное значение. Оно лежит в основе:
Это делает данную область ключевой в современной физике высоких энергий и астрофизике.