Спектральное распределение энергии

Синхротронная радиация характеризуется чрезвычайно широким спектром, охватывающим от радиоволн до жёсткого рентгеновского излучения. Важнейшей особенностью этого спектра является его универсальность: форма спектрального распределения не зависит от конкретных параметров ускорителя, а определяется фундаментальными свойствами движения релятивистской заряженной частицы в магнитном поле.

Общая характеристика спектра

При движении заряженной частицы со скоростью, близкой к скорости света, по окружности под действием магнитного поля излучение имеет непрерывный спектр. Излучаемая энергия распределяется неравномерно:

  • максимум приходится на частоты, близкие к критической частоте;
  • в области низких частот наблюдается степенной рост спектра;
  • в области высоких частот интенсивность экспоненциально убывает.

Форма спектра универсальна и описывается с помощью специальных функций (интегралы Макдональда, модифицированные функции Бесселя).

Критическая частота

Критическая частота ωc является ключевой характеристикой спектра синхротронного излучения. Она определяется условием, что половина энергии излучения приходится на частоты меньше ωc, а другая половина — на частоты выше:

$$ \omega_c = \frac{3}{2}\,\gamma^3\,\frac{c}{\rho}, $$

где

  • γ — релятивистский фактор Лоренца,
  • c — скорость света,
  • ρ — радиус кривизны траектории частицы в магнитном поле.

Критическая частота возрастает как куб от γ, что объясняет смещение спектра в область высоких энергий для ультрарелятивистских электронов.

Спектральная мощность

Мощность, излучаемая в единичный интервал частот, выражается как

$$ \frac{dP}{d\omega} = \frac{\sqrt{3}\,e^3 B}{2\pi \varepsilon_0 m c}\, F\!\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right), $$

где

  • e — заряд электрона,
  • m — его масса,
  • B — магнитное поле,
  • ε0 — диэлектрическая постоянная вакуума,
  • функция F(x) задаётся через интеграл Макдональда:

F(x) = x∫x∞K5/3(y) dy,

где K5/3 — модифицированная функция Бесселя второго рода.

Эта функция описывает универсальную форму спектра: при малых x спектр ведёт себя как степенной закон, при больших x убывает экспоненциально.

Асимптотики спектра

Для удобства анализа используют приближённые выражения:

  • Низкочастотная область (ω ≪ ωc)

$$ \frac{dP}{d\omega} \propto \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{1/3}. $$

Здесь излучение растёт с увеличением частоты, но сравнительно медленно.

  • Высокочастотная область (ω ≫ ωc)

$$ \frac{dP}{d\omega} \propto \exp\!\left(-\frac{\omega}{\omega_c}\right). $$

Интенсивность быстро падает, что определяет наличие характерного спектрального максимума.

Универсальная форма распределения

Форма спектра зависит только от безразмерного параметра

$$ x = \frac{\omega}{\omega_c}. $$

Таким образом, независимо от конкретных условий в ускорителе или астрофизической среде, спектры синхротронного излучения сводятся к одной и той же функции F(x). Это объясняет универсальность наблюдаемых спектров в астрофизике (радиогалактики, пульсары, остатки сверхновых) и в лабораторных установках.

Интегральная мощность

Полная мощность излучения находится интегрированием по всему спектру:

$$ P = \int_0^\infty \frac{dP}{d\omega}\, d\omega. $$

При этом результат выражается через известную формулу Лармора для релятивистских частиц в магнитном поле, а спектральное распределение служит лишь детализацией того, как эта мощность “разбивается” по частотам.

Спектральная плотность потока фотонов

Помимо распределения по энергии, часто рассматривают распределение по числу излучаемых фотонов. Оно определяется как

$$ \frac{dN}{d\omega} = \frac{1}{\hbar \omega} \frac{dP}{d\omega}. $$

Это представление удобно при анализе практических приложений синхротронного излучения — в спектроскопии, кристаллографии и материаловедении.

Особенности наблюдаемого спектра

  1. Широкополосность — излучение охватывает огромный диапазон частот.
  2. Анизотропия — большая часть энергии излучается в узком конусе в направлении движения частицы, что усиливает яркость наблюдаемого спектра.
  3. Поляризация — спектр сопровождается высокой степенью поляризации, особенно в рентгеновском диапазоне.
  4. Универсальность — форма распределения одинакова как для электронов в лабораторных ускорителях, так и для космических источников.
Оглавление