Синхротронные источники излучения обеспечивают чрезвычайно интенсивные и коллимированные пучки фотонов, которые используются в различных экспериментах, включая рентгеновскую дифракцию, спектроскопию, микроскопию и исследования динамических процессов на субнаносекундном уровне. Эффективное извлечение информации из данных таких экспериментов невозможно без применения строгих статистических методов обработки.
Данные, получаемые в синхротронных экспериментах, могут иметь различные формы:
Каждый тип данных требует специфического подхода к статистической обработке.
Основные характеристики данных — это математическое ожидание и дисперсия. Для дискретных счётных данных Ni, зарегистрированных в i-м интервале:
$$ \langle N \rangle = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} N_i, $$
$$ \sigma^2 = \frac{1}{M-1} \sum_{i=1}^{M} (N_i - \langle N \rangle)^2, $$
где M — число измерений.
Для счётных процессов, подчиняющихся распределению Пуассона, справедливо равенство:
σ2 ≈ ⟨N⟩,
что позволяет оценивать статистическую погрешность измерений через квадратный корень из среднего числа событий.
В синхротронных экспериментах часто необходимо подгонять теоретические модели к экспериментальным данным.
Для набора измерений (xi, yi) и модели y = f(x, θ⃗) критерий минимизации имеет вид:
$$ \chi^2(\vec{\theta}) = \sum_{i=1}^{M} \frac{(y_i - f(x_i, \vec{\theta}))^2}{\sigma_i^2} \rightarrow \min, $$
где σi — стандартная ошибка yi. Оптимальные параметры θ⃗ определяются численно, часто с использованием градиентных методов или алгоритмов типа Levenberg–Marquardt.
Для малых счётных данных, когда нормальное приближение неприменимо, применяется метод максимального правдоподобия (MLE):
$$ L(\vec{\theta}) = \prod_{i=1}^{M} P(N_i | \lambda_i(\vec{\theta})), $$
где P(Ni|λi) — вероятность зарегистрировать Ni событий при среднем значении λi. Модель подбирается так, чтобы L(θ⃗) было максимальным.
Фоновый сигнал — один из ключевых источников систематической ошибки. Обычно используется вычитание среднего фонового уровня B:
Inet = Imeas − B,
где Imeas — измеренная интенсивность, а B — оценка фона. Статистическая погрешность суммарного сигнала вычисляется как:
$$ \sigma_\text{net} = \sqrt{\sigma_\text{meas}^2 + \sigma_B^2}. $$
Важно оценивать фон для каждого набора данных индивидуально, так как его структура может зависеть от времени, температуры и других внешних условий.
Для временных рядов интенсивности I(t) применяют методы автокорреляции:
C(τ) = ⟨(I(t) − ⟨I⟩)(I(t + τ) − ⟨I⟩)⟩.
Автокорреляционная функция позволяет выявлять периодические или случайные колебания в сигнале, определять характерные времена релаксации и скорость динамических процессов.
Для анализа частотных компонентов используется преобразование Фурье, в частности дискретное преобразование Фурье (DFT):
$$ \tilde{I}(f) = \sum_{n=0}^{N-1} I(t_n) e^{-2\pi i f t_n}. $$
Спектральная плотность |Ĩ(f)|2 дает представление о распределении энергии по частотам и позволяет выявлять слабые сигналы на фоне шума.
В синхротронных экспериментах различают два основных типа ошибок:
Ошибки обычно объединяются в общую погрешность:
$$ \sigma_\text{total} = \sqrt{\sigma_\text{stat}^2 + \sigma_\text{sys}^2}. $$
При анализе дискретных измерений часто возникает необходимость сглаживания шума или интерполяции между точками. Распространённые методы:
Эти методы должны применяться с осторожностью, чтобы не искажать физически значимые характеристики данных.
Выбросы — измерения, сильно отклоняющиеся от среднего, могут возникать из-за случайных сбоев детектора или кратковременных нестабильностей источника.
Корректное удаление выбросов улучшает точность подгонки моделей и оценку погрешностей.
Для статистической обработки данных синхротронных экспериментов используют как стандартные математические пакеты (MATLAB, Python с библиотеками NumPy, SciPy, Pandas), так и специализированные программы (Origin, Igor Pro, PyMca). Автоматизация позволяет: