Теорема Ван Циттерта-Цернике для синхротронного излучения

Основные положения теоремы

Теорема Ван Циттерта–Цернике (Van Cittert–Zernike theorem) является фундаментальным результатом в оптике и теории когерентности, обеспечивая связь между пространственной когерентностью электромагнитного излучения и интенсивностью источника. Для синхротронного излучения, обладающего характеристиками высокой яркости и направленности, теорема приобретает особое значение, поскольку позволяет описывать когерентные свойства импульсов излучения с точностью, необходимой для экспериментов в области рентгеновской и ультрафиолетовой спектроскопии.

Классическая формулировка теоремы утверждает, что коэффициент пространственной когерентности на плоскости наблюдения пропорционален нормализованному пространственному преобразованию Фурье интенсивности источника. Формально это выражается через взаимную когерентную функцию Γ(r₁, r₂):

$$ \Gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \iint_S I(\mathbf{r}_s) \, \exp \left[- i \frac{2 \pi}{\lambda} (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \cdot \frac{\mathbf{r}_s}{R} \right] d^2 \mathbf{r}_s, $$

где:

• I(r_s) — интенсивность источника в точке r_s,
• r₁, r₂ — точки наблюдения на детекторе,
• R — расстояние до наблюдательной плоскости,
• λ — длина волны излучения.

Применение к синхротронному излучению

Синхротронное излучение обладает специфическими особенностями:

1. Высокая яркость и коллимированность. Узкий спектральный и угловой диапазон позволяет рассматривать источник как практически «точечный» при больших расстояниях до наблюдателя.
2. Поляризация. Вблизи оси бета-излучения наблюдается линейная или эллиптическая поляризация, что влияет на пространственную когерентность.
3. Импульсная структура. Короткие длительности импульсов (пико- и наносекундные диапазоны) позволяют применять теорему Ван Циттерта–Цернике в рамках временно-стационарного приближения для каждого импульса.

В условиях синхротронного источника взаимная когерентная функция на больших расстояниях определяется угловым распределением интенсивности электрона в магнитной системе. При этом формула принимает вид:

$$ \gamma(\Delta \mathbf{r}) = \frac{\Gamma(\mathbf{r}, \mathbf{r} + \Delta \mathbf{r})}{\sqrt{\Gamma(\mathbf{r}, \mathbf{r}) \Gamma(\mathbf{r} + \Delta \mathbf{r}, \mathbf{r} + \Delta \mathbf{r})}}. $$

Коэффициент пространственной когерентности γ(Δr) зависит только от разности координат Δr и отражает угловую структуру источника.

Математическое описание для ондуляторов

Для синхротронных ондуляторов интенсивность I(θ_x, θ_y) в угловом пространстве задается через распределение излучения электрона вдоль оси колебаний:

I(θ_x, θ_y) ∝ |∫_−∞^∞E(t)exp [ik(θ_xx(t) + θ_yy(t))] dt|²,

где E(t) — электрическое поле излучения, x(t), y(t) — координаты электрона в ондуляторе. Применяя теорему Ван Циттерта–Цернике, взаимная когерентная функция на детекторе определяется через двумерное преобразование Фурье от интенсивности источника:

Γ(Δx, Δy) ∝ ∬I(θ_x, θ_y)exp [−ik(θ_xΔx + θ_yΔy)] dθ_xdθ_y.

Физический смысл

1. Когерентная длина. Пространственная когерентность определяется угловым размером источника: чем меньше угловой размер, тем выше когерентность.
2. Связь с интерферометрией. Теорема позволяет предсказывать вид интерференционных картин, создаваемых рентгеновскими и оптическими лучами синхротронного источника.
3. Применение в экспериментальной практике. Используется для оценки размеров электронного пучка, планирования оптических схем и анализов когерентных рентгеновских изображений.

Ограничения и уточнения

• Теорема справедлива для стационарного или квазистационарного излучения, что подходит для отдельных импульсов, если их длительность значительно больше времени когерентности.
• Для синхротронного излучения с широкой спектральной полосой требуется интеграция по спектру.
• При очень высоких угловых разрешениях учитывается влияние дисперсии ондулятора и кривизны пучка, что приводит к отклонениям от идеального Фурье-преобразования.

Практические примеры

1. Когерентная рентгеновская микроскопия. Пространственная когерентность синхротронного излучения позволяет получать высококонтрастные интерференционные изображения объектов нанометрового масштаба.
2. Интерферометрия пучков. Теорема Ван Циттерта–Цернике используется для калибровки интерферометров, измерения размеров источников и контроля качества оптических элементов.
3. Анализ динамики электронного пучка. Взаимная когерентность позволяет судить о плотности и форме пучка без прямого контактного измерения.