Рассмотрим поведение заряженной частицы массой m и зарядом q, движущейся в однородном магнитном поле B. Основным уравнением, описывающим динамику частицы, является уравнение Лоренца:
$$ m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q \, \mathbf{v} \times \mathbf{B}, $$
где v — скорость частицы. Важным следствием является то, что магнитное поле не совершает работы над частицей, так как сила Лоренца всегда перпендикулярна её скорости. Следовательно, модуль скорости |v| сохраняется постоянным, а движение частицы является криволинейным с неизменной кинетической энергией.
Пусть магнитное поле направлено вдоль оси z:
B = (0, 0, B).
Разложим скорость на компоненты:
v = (vx, vy, vz).
Для поперечных составляющих получаем систему уравнений:
$$ \frac{dv_x}{dt} = \frac{qB}{m} v_y, \quad \frac{dv_y}{dt} = - \frac{qB}{m} v_x. $$
Эти уравнения описывают гармонические колебания с угловой частотой
$$ \omega_c = \frac{|q|B}{m}, $$
называемой циклотронной частотой или частотой Лармора.
Соответственно, период вращения равен
$$ T = \frac{2\pi}{\omega_c} = \frac{2\pi m}{|q|B}. $$
Таким образом, в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, частица движется по окружности радиуса
$$ r_L = \frac{mv_\perp}{|q|B}, $$
где v⟂ — проекция скорости на плоскость, ортогональную B. Этот радиус называется радиусом Лармора.
Так как проекция скорости вдоль направления магнитного поля vz остаётся постоянной, то общее движение частицы в магнитном поле представляет собой винтовую линию (спираль), наматывающуюся вокруг силовых линий B.
Характеристики движения:
$$ h = v_z T = \frac{2\pi m v_z}{|q|B}; $$
Полная кинетическая энергия частицы:
$$ E = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(v_\perp^2 + v_z^2 \right). $$
Энергия поперечного и продольного движения разделяются:
$$ E_\perp = \frac{1}{2} m v_\perp^2, $$
$$ E_\parallel = \frac{1}{2} m v_z^2. $$
При отсутствии внешних электрических полей и излучательных потерь эти энергии остаются постоянными.
Циклотронное движение играет фундаментальную роль в физике плазмы, астрофизике, физике ускорителей и радиационной физике. Оно определяет:
Особое значение имеет тот факт, что циклотронная частота зависит только от соотношения q/m и величины магнитного поля. Это позволяет использовать циклотронное движение для спектроскопии частиц, масс-спектрометрии и диагностики плазмы.
Все приведённые выводы справедливы в нерелятивистском пределе, когда скорость частицы значительно меньше скорости света (v ≪ c). В этом случае масса частицы может считаться постоянной.
При скоростях, сравнимых со скоростью света, необходимо учитывать релятивистское увеличение массы m → γm, что приводит к уменьшению циклотронной частоты:
$$ \omega_c^{\text{rel}} = \frac{|q|B}{\gamma m}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. $$
Таким образом, в нерелятивистском случае частота вращения не зависит от энергии частицы, тогда как в релятивистском — уменьшается с ростом энергии.
Если в системе присутствует электрическое поле E, перпендикулярное к B, то возникает дрейф E × B:
$$ \mathbf{v}_d = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}, $$
при котором центр ларморовской орбиты смещается со скоростью vd. При этом циклотронная частота и радиус вращения относительно центра орбиты не изменяются.
Циклотронное движение является фундаментальным для работы: