Движение заряженной частицы в магнитном поле описывается уравнениями классической электродинамики. Основным является уравнение Лоренца для силы, действующей на частицу:
F⃗ = q v⃗ × B⃗,
где q — заряд частицы, v⃗ — её скорость, B⃗ — вектор магнитной индукции. Так как сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, магнитное поле не изменяет кинетическую энергию частицы, а лишь изменяет направление её движения.
Уравнение движения можно записать через второй закон Ньютона:
$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} = q \, \vec{v} \times \vec{B}. $$
Здесь m — масса частицы. Это дифференциальное уравнение описывает вращательное движение заряда вокруг направления магнитного поля.
Рассмотрим случай однородного магнитного поля B⃗ = (0, 0, B). Пусть частица движется с некоторой начальной скоростью v⃗. Компонента скорости, параллельная полю (v∥), не изменяется, тогда как перпендикулярная составляющая (v⟂) приводит к вращению частицы по окружности.
Радиус траектории (так называемый циклический радиус или радиус Лармора) определяется как
$$ r_L = \frac{m v_{\perp}}{|q| B}. $$
Частота вращения — циклотронная частота:
$$ \omega_c = \frac{|q| B}{m}. $$
Заметим, что циклотронная частота не зависит от энергии частицы и её скорости, а определяется только отношением заряда к массе и величиной магнитного поля.
Если скорость имеет как продольную, так и поперечную компоненты, частица движется по спирали (геликсу) вокруг силовых линий магнитного поля.
Уравнения движения имеют вид:
x(t) = rLcos (ωct + φ0), y(t) = rLsin (ωct + φ0), z(t) = v∥t,
где φ0 — начальная фаза. Таким образом, движение заряда в магнитном поле — это комбинация равномерного поступательного движения вдоль поля и кругового движения в поперечной плоскости.
Для быстрых частиц необходимо учитывать релятивистские эффекты. В этом случае масса заменяется на релятивистский импульс:
$$ \vec{p} = \gamma m \vec{v}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. $$
Уравнение движения принимает вид:
$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = q \, \vec{v} \times \vec{B}. $$
Радиус кривизны траектории выражается как
$$ \rho = \frac{\gamma m v_{\perp}}{|q| B}, $$
а релятивистская циклотронная частота уменьшается по сравнению с классической:
$$ \omega_c = \frac{|q| B}{\gamma m}. $$
Таким образом, с ростом энергии частицы её траектория становится более пологой, а частота вращения уменьшается.
Так как магнитное поле не совершает работы над зарядом, полная энергия частицы сохраняется. Тем не менее при ускоренном движении по окружности частица излучает электромагнитные волны — это и есть синхротронная радиация. Влияние излучения на динамику выражается в постепенной потере энергии частицей и изменении её траектории.
Для описания этого эффекта необходимо в уравнение движения добавить член, учитывающий силу излучательного трения (сила радиационного торможения). Тогда уравнение Лоренца принимает модифицированный вид:
$$ \frac{d\vec{p}}{dt} = q \, \vec{v} \times \vec{B} + \vec{F}_{\text{rad}}. $$
При движении заряда в магнитном поле сохраняются:
Эти инварианты играют важную роль в теории магнитных ловушек и при анализе устойчивости траекторий в ускорителях.
Уравнения движения заряженной частицы в магнитном поле лежат в основе: