При рассмотрении движения заряженной частицы в однородном магнитном поле фундаментальную роль играет квантование поперечных степеней свободы. В нерелятивистском случае это приводит к дискретному спектру энергии, известному как уровни Ландау. Для релятивистских частиц ситуация существенно усложняется из-за необходимости учитывать релятивистскую динамику и спиновые степени свободы, однако общий принцип сохранения квантованной структуры уровней сохраняется.
В релятивистской квантовой теории движение частицы в магнитном поле описывается либо уравнением Дирака (для фермионов со спином 1/2), либо уравнением Клейна–Гордона (для скалярных частиц). Оба подхода приводят к дискретизации поперечной энергии и непрерывности вдоль направления магнитного поля.
Для электрона с зарядом e и массой m, движущегося в однородном магнитном поле B = (0, 0, B), используем калибровку векторного потенциала A = (0, Bx, 0). Уравнение Дирака имеет вид
$$ \left[ \gamma^\mu \left(i\hbar \partial_\mu - \frac{e}{c}A_\mu \right) - mc \right] \psi = 0. $$
После разделения переменных решение представляется в виде
ψ(x, y, z, t) = ei(pyy + pzz − Et)/ℏ ϕ(x),
где ϕ(x) удовлетворяет уравнению, аналогичному осцилляторному, с характерной частотой циклотронного движения.
Результатом решения является дискретизация энергии в поперечном направлении:
$$ E_{n,s}(p_z) = \pm \sqrt{m^2c^4 + p_z^2 c^2 + 2 e \hbar B c \, n + g_s \, e \hbar B c \, s}, $$
где:
Для безмассовых частиц (например, в теории нейтрино или в графене для квазичастиц) выражение упрощается до
$$ E_{n}(p_z) = \pm \sqrt{p_z^2 c^2 + 2 e \hbar B c \, n}. $$
Особенностью спектра является наличие нулевого уровня Ландау (n = 0), который не зависит от спина и играет ключевую роль в релятивистских теориях.
Каждый уровень Ландау характеризуется высокой степенью вырождения по импульсу py. Число квантовых состояний на единицу площади поперечного сечения определяется как
$$ N = \frac{eB}{2\pi \hbar c}. $$
Эта величина играет принципиальную роль в объяснении квантового эффекта Холла и других коллективных явлений в сильных магнитных полях.
Для релятивистских электронов, движущихся в магнитном поле ускорителя или астрофизической плазмы, переходы между уровнями Ландау сопровождаются испусканием фотонов — синхротронной радиацией.
Квантовый подход описывает эти процессы как спонтанные переходы:
n → n′ < n,
с испусканием фотона частоты
ℏω = En(pz) − En′(pz′).
В пределе больших n и высоких энергий этот результат переходит в классическое описание непрерывного спектра синхротронного излучения. Таким образом, квантование уровней Ландау обеспечивает естественный переход между микроскопическим и макроскопическим подходами.
В условиях очень сильных магнитных полей (B ≳ 1013 Гс, характерных для магнитаров и пульсаров) электроны могут занимать лишь несколько низших уровней Ландау. В этом режиме кинетическая энергия в поперечном направлении оказывается строго ограниченной, и фактически частицы ведут себя как одномерные системы вдоль направления поля.
Энергия в этом случае приближённо выражается как
$$ E_{n}(p_z) \approx \sqrt{p_z^2 c^2 + m^2 c^4 + 2n e \hbar B c}. $$
Наличие нулевого уровня делает возможным существование сильно анизотропных плазм и приводит к ряду астрофизических эффектов — от модификации уравнения состояния нейтронной звезды до особенностей спектров её излучения.
В релятивистской квантовой электродинамике (КЭД) учёт уровней Ландау является обязательным при вычислении пропагаторов фермионов в присутствии магнитного поля. Это приводит к модифицированной структуре диаграмм Фейнмана, где внутренние линии электронов содержат сумму по уровням Ландау.
Такой подход необходим для описания: