Влияние размеров источника на когерентность

Основные понятия

Когерентность излучения — это мера степени упорядоченности электромагнитного поля во времени и пространстве. В синхротронной радиации когерентность играет ключевую роль в экспериментах, связанных с дифракцией, интерферометрией и высокоточным измерением фазовых характеристик света.

Ключевой фактор, определяющий пространственную когерентность, — это размеры источника излучения. Чем меньше эффективные размеры источника в продольном и поперечном направлениях, тем выше степень когерентности излучаемого пучка.

Пространственная когерентность и источники конечного размера

Пространственная когерентность характеризуется коэффициентом взаимной когерентности, который описывает корреляцию полей в разных точках поперечного сечения пучка. Для источника конечного размера S коэффициент взаимной когерентности γ(r1, r2) определяется интегралом по распределению интенсивности I(r′) на поверхности источника:

$$ \gamma(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \frac{\iint_S I(\mathbf{r}') e^{-i k (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \cdot \mathbf{r}' / L} d^2 \mathbf{r}'}{\sqrt{\iint_S I(\mathbf{r}') d^2 \mathbf{r}' \iint_S I(\mathbf{r}') d^2 \mathbf{r}'}} $$

где k = 2π/λ — волновое число, L — расстояние от источника до наблюдаемой плоскости, λ — длина волны.

Следствие: При увеличении размеров источника S интеграл быстро осциллирует, что приводит к уменьшению модуля коэффициента когерентности, то есть когерентность падает.

Закон Ван Циттерта — Цернике

Для источников с равномерной интенсивностью применяется теорема Ван Циттерта — Цернике, которая связывает пространственную когерентность с интенсивностным распределением источника:

Γ(Δr) ∝ ∫I(r′)e−ikΔr ⋅ r′/Ld2r′

где Δr = r1 − r2.

  • В случае точечного источника (S → 0) получаем идеальную когерентность во всем пространстве.
  • Для конечного источника когерентность ограничена: чем больше источник, тем меньше область, где наблюдается высокая когерентность.

Это напрямую отражает физический принцип, что когерентность — это преобразование Фурье распределения интенсивности источника.

Продольные и поперечные размеры источника

Когерентность в синхротронной радиации различается по направлениям:

  1. Поперечная когерентность определяется размерами электронного пучка в горизонтальном и вертикальном направлениях.

    • Для узких пучков в вертикальном направлении наблюдается высокая вертикальная когерентность.
    • Горизонтальная когерентность ниже, так как горизонтальный размер источника обычно больше.

  2. Продольная когерентность связана с длиной волны и спектральной шириной излучения.

    • Чем меньше спектральная ширина (Δλ/λ), тем выше продольная когерентность.
    • Источник конечной длины (например, магнитная структура в синхротроне) приводит к ограничению продольной когерентности за счет фазового различия между излучением разных участков.

Влияние энергии и бета-функций

Размер источника в синхротронных установках определяется не только геометрическими размерами электронного пучка, но и динамикой его движения:

$$ \sigma_x = \sqrt{\epsilon_x \beta_x + (\eta_x \delta)^2}, \quad \sigma_y = \sqrt{\epsilon_y \beta_y} $$

где:

  • ϵx, y — эмиттансы по направлениям,
  • βx, y — бета-функции, характеризующие фокусировку пучка,
  • ηx — дисперсия,
  • δ — относительная энергия электрона.

Следствие: Для повышения пространственной когерентности необходимо уменьшать эмиттансы пучка, что реализуется в современных низкоэмиттансных синхротронах.

Параметры когерентности и длина когерентности

Пространственная когерентность определяется длиной когерентности lc в поперечном направлении:

$$ l_c \approx \frac{\lambda L}{S} $$

где S — размер источника, L — расстояние до наблюдаемой плоскости.

  • Малый источник S ≪ λL/lc → большая область когерентности.
  • Большой источник S ≫ λL/lc → когерентность ограничена малыми участками пучка.

Продольная когерентность определяется аналогично через спектральную ширину Δλ:

$$ l_c^\parallel \sim \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda} $$

Практические следствия для экспериментов

  • Для интерферометрических и когерентных дифракционных экспериментов требуется минимизация размеров источника или использование апертур для выбора когерентной области пучка.
  • В синхротронных источниках 4-го поколения целенаправленно снижаются горизонтальные размеры электронного пучка, что повышает поперечную когерентность и позволяет проводить эксперименты с высокой пространственной разрешающей способностью.
  • Использование монохроматоров уменьшает спектральную ширину и увеличивает продольную когерентность.
Оглавление