Дисперсионные соотношения для магнонов

Магноны — это квазичастицы, описывающие коллективные возбуждения спиновой системы в магнитных материалах. Они представляют собой квазиклассические колебания магнитного порядка, аналогичные фононам для атомной решетки. Магноны играют ключевую роль в спинтронике, так как переносят спиновый момент и энергию без движения заряженных частиц, что позволяет реализовать низкоэнергетические устройства.

Дисперсионное соотношение магнонов — это функция, связывающая частоту возбуждения ω с волновым вектором k, и определяющая динамику спиновых волн в различных магнитных системах. Форма дисперсии зависит от типа магнитного порядка (ферромагнетик, антиферромагнетик, фрустрации), геометрии образца (объемный кристалл, тонкая пленка, двумерный слой) и наличия анизотропий.

Дисперсия магнонов в ферромагнетиках

Для простого ферромагнетика с кубической симметрией и только обменными взаимодействиями можно записать гамильтониан:

Ĥ = −∑_⟨i, j⟩J S_i ⋅ S_j − gμ_BH∑_iS_i^z

где J — константа обменного взаимодействия, H — внешнее магнитное поле. Применяя метод Хольстейна–Примакова и линейную спиновую волну, получаем дисперсионное соотношение:

ℏω(k) = gμ_BH + 2JS z (1 − γ_k)

здесь S — спин атома, z — число ближайших соседей, $\gamma_\mathbf{k} = \frac{1}{z}\sum_{\delta} e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{\delta}}$ — геометрический фактор решетки.

Ключевые особенности:

При малых k (k → 0) ω ∼ Dk², где D = 2JSa² — константа спиновой жесткости, a — параметр решетки.
Наличие внешнего поля H смещает спектр на ω_H = gμ_BH/ℏ.
Спектр является непортивным, что обеспечивает возможность устойчивого переноса спинового тока.

Дисперсия магнонов в антиферромагнетиках

Для антиферромагнитного упорядочения гамильтониан выглядит аналогично, но с отрицательным знаком константы обмена J < 0. Для простого двухподрешеточного антиферромагнетика:

Ĥ = |J|∑_⟨i, j⟩S_i ⋅ S_j

Используя метод Бого́лиубова, получаем:

$$ \hbar \omega(\mathbf{k}) = 2 S |J| \sqrt{ z^2 - \gamma_\mathbf{k}^2 } $$

Особенности:

При k → 0 дисперсия линейная: ω ∼ v_sk, где v_s — скорость спиновых волн.
Линейная зависимость обеспечивает эффект «звукоподобных» магнонов, что важно для теплообмена и спинового транспорта.
Анизотропия и внешнее поле могут открывать спиновой разрыв в спектре (ω₀ ≠ 0).

Роль магнитной анизотропии

Анизотропия влияет на низкочастотные магнонные состояния. Для одноплоскостного ферромагнетика с осевой анизотропией добавляется член:

$$ \hat{H}_{\rm an} = - K \sum_i (S_i^z)^2 $$

и дисперсия модифицируется:

ℏω(k) = gμ_BH + 2KS + 2JSz(1 − γ_k)

Эффекты анизотропии:

Возникает энергетический разрыв Δ = 2KS, при k → 0.
Контролируемая анизотропия используется для стабилизации спинового тока и управления спиновой инжекцией в спинтронных устройствах.

Дисперсионные свойства тонких пленок и двумерных систем

Для 2D ферромагнетиков и пленок с толщиной d возникает квантование вдоль нормали к пленке (z-ось). Спектр приобретает вид:

$$ \omega_{n}(\mathbf{k}_{\parallel}) = \omega_0 + D k_{\parallel}^2 + D_z \left(\frac{n \pi}{d}\right)^2 $$

где n = 0, 1, 2, … — квантовые номера по толщине, D_z — спиновая жесткость вдоль нормали.

Особенности:

Нижняя подполоса (n = 0) формирует основную магнонную ветвь, отвечающую за спинтронный транспорт.
Высшие подполосы создают дополнительные состояния, влияющие на рассеяние и демагнитизационные эффекты.
Поверхностные магноны (k_∥ ≫ π/d) проявляют сильное смещение частоты за счет демагнитного поля.

Магноны с учетом спин-орбитального взаимодействия и Дмиетрия

В материалах с нецентросимметрией или сильным спин-орбитальным взаимодействием добавляется вектор Дмиетрия D_ij, и гамильтониан:

$$ \hat{H}_{\rm DM} = \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{D}_{ij} \cdot (\mathbf{S}_i \times \mathbf{S}_j) $$

Дисперсия становится асимметричной: ω(k) ≠ ω(−k).
Появляются ходящие магноны с фиксированным направлением вращения спина.
Ключевой механизм для спиновой инжекции и магнонных диодов в спинтронике.

Тепловые и нелинейные эффекты

При высоких температурах или больших амплитудах спиновых волн:

Влияние магнон-магнонного взаимодействия приводит к размыванию дисперсии и уменьшению спиновой жесткости.
Магноны становятся диссипативными, проявляются нелинейные эффекты, включая самофокусировку и солитонные состояния.
В 2D материалах слабые взаимодействия с фононами и дефектами создают магнонные спектральные линии с конечной шириной, что критично для спинового транспорта.