В спинтронике динамика спина является ключевым аспектом для понимания как фундаментальных процессов, так и работы спиновых устройств. В отличие от классической электроники, где основным объектом исследования является заряд электрона, спинтроника оперирует спиновыми степенями свободы, что требует отдельного математического аппарата. Основные уравнения движения спинов основаны на квантовомеханическом описании магнитного момента электрона и его взаимодействия с внешними и внутренними магнитными полями.
Магнитный момент электрона μ связан со спином S через соотношение:
μ = −gμBS/ℏ
где g ≈ 2 — гиромагнитное отношение электрона, μB — магнетон Бора, ℏ — редуцированная постоянная Планка.
Энергия взаимодействия спина с магнитным полем B задается гамильтонианом Зеемана:
Ĥ = −μ ⋅ B = gμBS ⋅ B/ℏ
Для ансамбля спинов в материале учитываются также обменные взаимодействия, спин–орбитальные эффекты и анизотропии, что приводит к более сложным гамильтонианам, например:
Ĥ = −gμB∑iSi ⋅ Bi − ∑i < jJijSi ⋅ Sj + ĤSO + Ĥani
где Jij — константа обменного взаимодействия, ĤSO — спин–орбитальная энергия, Ĥani — магнитная анизотропия.
Для макроскопического описания динамики на уровне магнитной намагниченности M используется уравнение Ландау–Лифшица–Гилберта (LLG):
$$ \frac{d\mathbf{M}}{dt} = -\gamma \mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\text{eff}} + \frac{\alpha}{M_s} \mathbf{M} \times \frac{d\mathbf{M}}{dt} $$
где:
$$ \mathbf{H}_{\text{eff}} = -\frac{1}{\mu_0} \frac{\delta \hat{H}}{\delta \mathbf{M}} $$
Первый член уравнения описывает прецессию магнитного момента вокруг поля, а второй — демпфирование, приводящее к выравниванию спина по направлению эффективного поля.
На квантовом уровне динамика спинов описывается операторным уравнением Шредингера:
$$ i \hbar \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle $$
Для спин-$\frac{1}{2}$ частицы гамильтониан в магнитном поле B принимает вид:
$$ \hat{H} = \frac{1}{2} g \mu_B \boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{B} $$
где σ = (σx, σy, σz) — матрицы Паули. Векторная форма уравнения движения спина:
$$ \frac{d \langle \mathbf{S} \rangle}{dt} = \frac{g \mu_B}{\hbar} \langle \mathbf{S} \rangle \times \mathbf{B} $$
это квантовая аналогия классической прецессии Лармора.
Спин в магнитном поле демонстрирует прецессию Лармора с угловой частотой:
ωL = γB
где B = |B|. Направление прецессии определяется правилом правой руки относительно вектора B.
Эта прецессия лежит в основе работы спиновых резонансов (ESR/NMR) и спиновых клапанов, где манипулирование ориентацией спинов управляет током.
В спинтронике часто рассматривают спиновый ток Js, который описывает поток спиновой поляризации через материал:
$$ \frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J}_s = - \frac{\mathbf{S}}{\tau_s} $$
где τs — время релаксации спина. Векторное уравнение показывает, что изменение локальной спиновой поляризации зависит от:
Спиновый ток может включать конвекционный, диффузионный и дрейфовый вклад:
Js = −Ds∇S + μsES + ...
где Ds — спиновая диффузионная константа, μs — подвижность спинов.
Спин–орбитальное взаимодействие добавляет дополнительные термины в уравнения движения, создавая эффекты торкования спина током (spin–orbit torque) и анизотропное рассеяние. Классическая запись эффекта Торка от спин–тока в LLG:
$$ \frac{d\mathbf{M}}{dt} = -\gamma \mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\text{eff}} + \alpha \mathbf{M} \times \frac{d\mathbf{M}}{dt} + \tau_{\text{SOT}} $$
τSOT зависит от направления тока и симметрии материала, и позволяет управлять магнитизацией без применения внешнего магнитного поля.
Для ансамблей спинов используется матричная плотность ρ, динамика которой описывается уравнением Линдблада:
$$ \frac{d\rho}{dt} = - \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \rho] + \mathcal{L}[\rho] $$
где ℒ[ρ] — супероператор релаксации, учитывающий спиновую декогеренцию и взаимодействие с тепловой средой. Такой подход позволяет моделировать квантовые эффекты ансамбля спинов, включая спиновые волны и когерентные состояния.